Intervalo De Confianza Para La Media De Una Población

1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN. IC (µ)
Se esta estudiando el comportamiento de una variable “X” de una población en donde no se conoce la media proporcional de la variable (µ).
Para poder estimar (µ), se escoge una muestra aleatoria (n) de donde se obtiene la media x y la desviación estándar (s).
El IC para (µ)se expresa de la siguiente manera.
Px-zt*sx ≤µ≤x+zt*sx=NC
Px+zt* sx=NC
P= probabilidad
x = media muestral
z o t = es el valor de la tabla que se busca a dos colas igual, la parte intermedia es el nivel de confianza (NC).
Si la muestra es pequeña (n≤30) y se utiliza la t de student y el valor de la tabla t= t(n-i); valor de la cola.
Para muestra grande (n≥30), se utiliza la distribución normal estandarizada (z)

sx = desviaciónestándar de la media muestral.
SE PRESENTAN POR CASOS:
1° caso: POBLACION INFINITA
sx = sn o sx= s2n
2° caso: POBLACION FINITA
sx = sn*N-nN-1

2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS POBLACIONALES. IC (µ1 ; µ2)
Se tienen dos poblaciones; independientes entre si, en donde va a estudiar elcomportamiento de una variable “X”, las poblaciones pueden ser finitas o infinitas.
No se conocen las medias proporcionales de la variable, y se desea estimar la posible diferencia entre ambas medias proporcionales.
De cada población se escogen muestras aleatorias (n1 ; n2), las cuales pueden ser de igual o diferente tamaño, luego se obtienen las medias muéstrales (x1 ; x2) y las varianzas poblacionales omuéstrales (s21 ; s22).
El IC para la diferencia de las medias poblacionales se expresa de la siguiente manera.
Px1-x2)-zt*sx1-x2 ≤(µ1-µ2)≤x1-x2)+zt*sx1-x2 =NC
O
Px1-x2)+zt*sx1-x2 =NC
sx1-x2 = desviacion estandar de la diferencia de las medias muestrales.
Se presentan los siguientes casos:
1° caso: cuando lasmuestras son relativamente grandes. n1≥30 ; n2≥30 ; se pueden conocer las varianzas muéstrales (s21; s22) y las distribuciones se pueden distribuir en forma normal o no.
Px1-x2+z*s21n1+s21n2 =NC
n1≥30 ; n2≥30
2° caso: cuando las muestras son relativamente pequeñas no se conocen las varianzas muéstrales, pero se asumen que son iguales. (s21 = s22)
P=x1-x2+t*n1-1s21+n2-1s22n1+n2-2*1n1+1n2=NC
EJERCICIOS
A. El propietario de una gasolinera desea estimar el número medio de galones de combustible que vende a sus clientes. De sus registros selecciona una muestra aleatoria de 80 ventas y concluye que el número medio de galones vendidos es de 7.80 con una varianza de 5.29. Establezca un intervalo de confianza del 98% para la media poblacional. Interpretar susresultados.
X= número de galones combustible
IC [Medida de galones de combustible]=98%
x=7.8
n(80)
s2=5.29

ZT=±2.33
Fórmula de intervalo de confianza:
P7.8±2.335.2980=98%
P7.2≤u≤8.4=98%
Interpretación: Existe una probabilidad del 98% de que la media de galones vendidos se encuentra entre 7.2 galones a 8.4 galones.
B. Un empleado de la empresa Sol SAC tiene como tareacubrir con una capa de plástico una superficie. Se extrae una muestra aleatoria correspondiente al grosor de dicha capa de plástico, los valores obtenidos (en mm) son:
15.4 | 16.0 | 15.5 | 16.2 | 16.3 | 16.0 | 15.9 | 15.8 | 15.7 | 16.3 | 16.0 |
Suponiendo que la población es normal, halle un intervalo de confianza del 99% para la media de toda la capa de la superficie metálica.Interpretar los resultados.
X=Grosor capa A
IC [Media de todas las capas de plástico]=99%
x=15.9
n(80)
s2=0.30

T10;0.005=±3.169
Px±t0×Sn=NC
P15.9±3.169×0.3011=99%
P15.61≤u≤16.19=99%
Interpretación: Existe una probabilidad del 99% de que la media de todas las capas de la superficie se encuentren entre 15.61mm a 16.19mm.
C. Se lleva a cabo un estudio en la compañía Coca...