Intervalo De Confianza Para La Media
Páginas: 5 (1059 palabras)
Publicado: 28 de noviembre de 2012
Intervalo de confianza para la media
De una población de media y desviación típica se pueden tomar muestras de elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media (). Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:2
Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,3 la distribución de medias muestrales es,prácticamente, una distribución normal con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión: . Esto se representa como sigue: . Si estandarizamos, se sigue que:
En una distribución Z ~ N(0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 -α)·100 es el porcentaje deseado
Se desea obtener una expresión tal que
En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral (), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95 y del 99 por ciento. A este valor se le llamará (debido a que es el errorque se cometerá, un término opuesto).
Para ello se necesita calcular el punto —o, mejor dicho, su versión estandarizada o valor crítico— junto con su "opuesto en la distribución" . Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente imagen:
Dicho punto es el número tal que:
Y en la versión estandarizada se cumple que:
Así:
Haciendo operaciones esposible despejar para obtener el intervalo:
De lo cual se obtendrá el intervalo de confianza:
Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestral ± el producto del valor crítico por el error estándar.
Si no se conoce y n es grande (habitualmente se toma n ≥ 30):4
, donde s es la desviación típica de una muestra.
Aproximaciones para el valor para los niveles deconfianza estándar son 1,96 para y 2,576 para .
Las ventas diarias, en euros, en un determinado comercio siguen una distribución
N (950, 200). Calcula la probabilidad de que las ventas diarias en ese comercio:
a) Superen los 1200 euros.
b) Estén entre 700 y 1000 euros
a) px>1200= x-950 200> 1200-950200=p z>1.25=
= 1- p z ≤1.25=1-0.8944=0.1056
b) p700<x<1000=p700-950200<x-950200< 1000-950200 =
=p-1<z z 0.25=pz<0.25- pz< -1=
=pz<0.25-pz>1=pz<0.25-(pz ≤1)=
=0.5987-1-0.8413=0.44
El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal
N (192, 12). Calcula la probabilidad deque una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol:
a) Superior a 200 unidades.
b) Entre 180 y 220 unidades.
a) px>200=px-192 12>200-19212=pz>0.67=
=1- z≤0.67=1-0.7486=0.2514
b) p180<x<220=p 180-19212<x-19212<220-19212=
=p-1<z<2.33-p z<-1==pz<2.33-pz>1=pz<2.33-1-pz<1
=0.9901.(1-0.8413)= 0.8314
La edad de un determinado grupo de personas sigue una distribución N (35, 10). Calcula la probabilidad de que una persona de ese grupo, elegido al azar, tenga
a) Mas de 40 años
b) Entre 23 y 47 años
El peso de una carga de Naranjas en gramos, sigue una distribución N (175,12). Calcula la probabilidad de que unanaranja elegida al azar pese:
a) Mas de 200 gramos
b) Entre 150 y 190 gramos
El tiempo empleado, en horas, en hacer un determinado producto sigue una distribución N (10, 2). Calcula la probabilidad de que ese producto se tarde en hacer:
a) Menos de 7 horas.
b) Entre 8 y 13 horas
En una distribución normal con una media μ= 8, 2 y desviación típica σ=2, 1, halla el...
De una población de media y desviación típica se pueden tomar muestras de elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media (). Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:2
Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,3 la distribución de medias muestrales es,prácticamente, una distribución normal con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión: . Esto se representa como sigue: . Si estandarizamos, se sigue que:
En una distribución Z ~ N(0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 -α)·100 es el porcentaje deseado
Se desea obtener una expresión tal que
En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral (), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95 y del 99 por ciento. A este valor se le llamará (debido a que es el errorque se cometerá, un término opuesto).
Para ello se necesita calcular el punto —o, mejor dicho, su versión estandarizada o valor crítico— junto con su "opuesto en la distribución" . Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente imagen:
Dicho punto es el número tal que:
Y en la versión estandarizada se cumple que:
Así:
Haciendo operaciones esposible despejar para obtener el intervalo:
De lo cual se obtendrá el intervalo de confianza:
Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestral ± el producto del valor crítico por el error estándar.
Si no se conoce y n es grande (habitualmente se toma n ≥ 30):4
, donde s es la desviación típica de una muestra.
Aproximaciones para el valor para los niveles deconfianza estándar son 1,96 para y 2,576 para .
Las ventas diarias, en euros, en un determinado comercio siguen una distribución
N (950, 200). Calcula la probabilidad de que las ventas diarias en ese comercio:
a) Superen los 1200 euros.
b) Estén entre 700 y 1000 euros
a) px>1200= x-950 200> 1200-950200=p z>1.25=
= 1- p z ≤1.25=1-0.8944=0.1056
b) p700<x<1000=p700-950200<x-950200< 1000-950200 =
=p-1<z z 0.25=pz<0.25- pz< -1=
=pz<0.25-pz>1=pz<0.25-(pz ≤1)=
=0.5987-1-0.8413=0.44
El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal
N (192, 12). Calcula la probabilidad deque una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol:
a) Superior a 200 unidades.
b) Entre 180 y 220 unidades.
a) px>200=px-192 12>200-19212=pz>0.67=
=1- z≤0.67=1-0.7486=0.2514
b) p180<x<220=p 180-19212<x-19212<220-19212=
=p-1<z<2.33-p z<-1==pz<2.33-pz>1=pz<2.33-1-pz<1
=0.9901.(1-0.8413)= 0.8314
La edad de un determinado grupo de personas sigue una distribución N (35, 10). Calcula la probabilidad de que una persona de ese grupo, elegido al azar, tenga
a) Mas de 40 años
b) Entre 23 y 47 años
El peso de una carga de Naranjas en gramos, sigue una distribución N (175,12). Calcula la probabilidad de que unanaranja elegida al azar pese:
a) Mas de 200 gramos
b) Entre 150 y 190 gramos
El tiempo empleado, en horas, en hacer un determinado producto sigue una distribución N (10, 2). Calcula la probabilidad de que ese producto se tarde en hacer:
a) Menos de 7 horas.
b) Entre 8 y 13 horas
En una distribución normal con una media μ= 8, 2 y desviación típica σ=2, 1, halla el...
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