intervalo de confianza



Introducción
La inferencia estadística nos proporciona métodos para sacar conclusiones sobre una población a partir de los datos que surjan de una muestra de dicha población, utilizando la probabilidad para expresar la fuerza de nuestras conclusiones.
Los dos procedimientos más ampliamente utilizados de inferencia estadística son: la construcción de unintervalo de confianza cuando el objetivo sea estimar un parámetro poblacional y la prueba de hipótesis, cuando el objetivo sea tomar una decisión respecto de una hipótesis que se formula sobre el valor de un parámetro poblacional.














Intervalo de Confianza.
En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculadoen una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.

La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1-. La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza. Generalmente se construyen intervalos con confianza 1-=95% (osignificancia =5%). Menos frecuentes son los intervalos con =10% o =1%.

Para construir un intervalo de confianza, se puede comprobar que la distribución Normal Estándar cumple 1:
P (-1.96 < z < 1.96) = 0.95
( lo anterior se puede comprobar con una tabla de probabilidades o un programa computacional que calcule probabilidades normales).
Luego, si una variable X tiene distribución N(,), entoncesel 95% de las veces se cumple

Despejando  en la ecuación se tiene:

El resultado es un intervalo que incluye al  el 95% de las veces. Es decir, es un intervalo de confianza al 95% para la media cuando la variable X es normal y  es conocido.
Intervalo de confianza para un promedio:
Generalmente, cuando se quiere construir un intervalo de confianza para la media poblacional  , la varianzapoblacional  es desconocida, por lo que el intervalo para  construido al final de II es muy poco práctico.
Si en el intervalo se reemplaza la desviación estándar poblacional por la desviación estándar muestral  s, el intervalo de confianza toma la forma:

La cual es una buena aproximación para el intervalo de confianza de 95% para  con  desconocido. Esta aproximación es mejor en la medida que eltamaño muestral sea grande.
Cuando el tamaño muestral es pequeño, el intervalo de confianza requiere utilizar la distribución t de Student (con n-1 grados de libertad, siendo n el tamaño de la muestra), en vez de la distribución normal (por ejemplo, para un intervalo de 95% de confianza, los límites del intervalo ya no serán construidos usando el valor 1,96).

Ejemplo:
Los siguientes datos sonlos puntajes obtenidos para 45 personas de una escala de depresión (mayor puntaje significa mayor depresión).
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Para construir un intervalo de confianza para el puntaje promedio poblacional, asumamos que los datos tienendistribución normal, con varianza poblacional  desconocida. Como  es desconocido, lo estimamos por s=18,7. Luego, un intervalo de confianza aproximado es:


Luego, el intervalo de confianza para  es (13,2 , 15,8). Es decir, el puntaje promedio poblacional se encuentra entre 13,2 y 15,8 con una confianza 95%.
Intervalo de Confianza para una Proporción.
En este caso, interesa construir un intervalo deconfianza para una proporción o un porcentaje poblacional (por ejemplo, el porcentaje de personas con hipertensión, fumadoras, etc.)
Si el tamaño muestral n es grande, el Teorema Central del Límite nos asegura que:

O bien:


Donde p es el porcentaje de personas con la característica de interés en la población (o sea, es el parámetro de interés) y p es su estimador muestral.
Luego,...