intervalo de confianza

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA EL PARAMETRO DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL
Resumen
La construcción de intervalos de confianza para la estimación del parámetro ¼, de la distribución binomial, es un problema importante en el trabajo estad¶³stico aplicado. Revisamos diferentes procedimientos para su construcción y realizamos un estudio de simulación para analizar el comportamiento de los niveles deconfianza reales y compararlos con los teóricos.
Palabras Claves: Estimación, Distribución Binomial, Intervalo de Confianza
1. Introducción
La construcción de intervalos de confianza para estimar el parámetro ¼, de la distribución binomial es un problema frecuente en el trabajo aplicado. Lamentablemente entre los investigadores que aplican estos intervalos es corriente el desconocimiento de losdiferentes intervalos para estimar este parámetro, debido a su poca difusión en los textos básicos.
Cada uno de estos intervalos tiene ciertas ventajas y desventajas. Hacemos una revisión de los diferentes métodos de construcción de intervalos y mediante un estudio de simulación los comparamos. Nos interesamos en analizar el comportamiento del nivel de confianza real, que es la porcentaje deintervalos que en las simulaciones cubren el verdadero valor de ¼, y compararlo con 0;95 el nivel de confianza nominal usado.
El concepto de nivel de confianza real, aunque poco manejado en la práctica, es muy importante cuando se trabaja con procedimientos que son asintóticos.
También comparamos los métodos usando los promedios de las longitudes de los intervalos calculados con cada método.Supongamos que X1; X2; ¢ ¢ ¢ ; Xn es una muestra aleatoria de tamaño n de una distribuci¶on Bernoulli con parámetro ¼, esto es, si la observación i es un éxito Xi = 1, en otro caso Xi = 0 y P(Xi = 1) = ¼; entonces Y = es el número de éxitos en la muestra. Sabemos qué Y se distribuye como una binomial con parámetros n y ¼. Estamos interesados en la construcción de intervalos de confianza para ¼.
Elestimador de máxima verosimilitud para ¼ está dado por
Leemis y Trivedi (1996) compararon, para n = 10 y 100, ® = 0;05 y Y = 3, algunos intervalos obtenidos con métodos aproximados con el intervalo obtenidocon un método \exacto".
2. Métodos Utilizados
Dado que la distribución binomial es discreta, no es posible construir intervalos con cualquier nivel de confianza pre especificado, a no ser que sealeatorice el, procedimiento que no es aceptado en la práctica, y se trabaja con métodos aproximados, en especial usando propiedades de muestras grandes.
Intervalos de Confianza para el Parámetro de la Distribución Binomial 61
2.1. M¶etodo Exacto Basado en la F
Para construir este intervalo con un nivel (1 ¡ ®)100 % de con¯anza para
¼ debemos determinar los l¶³mites inferior, LI y superior, LSde tal manera que P(Y ¸ yj¼ = LI) = ®=2 y P(Y · yj¼ = LS) = ®=2. Leemis y Trivedi
(1996) muestran dos procedimientos mediante los cuales se calculan LI y LS en t¶erminos de la distribución F. El intervalo \exacto" es: Ã 1 + n¡y+1 yF2y;2(n¡y+1);1¡®=2 1

1

;

1 + n¡y

(y+1)F2(y+1);2(n¡y);®=2

!

2.2. M¶etodos Aproximados

2.2.1. Basado en el Teorema Central del L¶³mite

Este es elintervalo propuesto en la mayor¶³a de textos b¶asicos en estad¶³stica

(Canavos, 1988; Wonnacott y Wonnacott, 1979; Roussas, 1973; Walpole, 1992;

Meyer, 1986; Mood et al., 1974)

Ã

¼^ ¡ z®=2

r

¼^(1 ¡ ¼^)

n

r

; ¼^ + z®=2

!

¼^(1 ¡ ¼^)

n

Se puede considerar la correci¶on por continuidad (Snedecor y Cochran, 1980)

Ã

Mood et al. (1974, pp. 394-395) y Larson(1983, pp.309-310) presentan un

intervalo de con¯anza que se halla como soluci¶on a una ecuaci¶on cuadr¶atica.

El intervalo resultante es (LI; LS), donde

r

¼^(1 ¡ ¼^)

¼^ ¡ z®=2

1

¡

2n

n

r

; ¼^ + z®=2

¼^(1 ¡ ¼^)

+

n

!

1

2n

2

z

zp®=2

®=2

¼^ +

2n ¡

LS =

q

¼^(1 ¡ ¼^) + z

n

2

z

®=2

1 +

n

q

¼^(1 ¡ ¼^)...