Intervalos de confianza

Intervalos de confianza para la media:
A) Poblaciones normales (o tamaños muestrales > 30) :


 X − Z α


σ
/2

n

; X + Zα

/2

σ 

n

o


s
s 
 X − Z α / 2 ; X + Z α / 2 
n
n


Donde Z α / 2 es el valor crítico de la normal tipificada que deja a su derecha un área de α / 2
, siendo α el nivel de significación del intervalo y s es lacuasi-desviación típica muestral.
B) Poblaciones no normales (tamaños muestrales ≤ 30 ):


s
s 
 X − tα / 2,n− 1 ; X + tα / 2.n− 1 
n
n


donde

tα / 2,n − 1 es el valor de la t-Student que deja

a su derecha un área de α / 2 , para n-1 grados de libertad.
Ejemplo:
a) En una determinada marca de cigarrillos se efectúa un experimento para comprobar el
contenido en alquitrán; a tal fin seprueban 20 cigarrillos elegidos al azar de lotes
diferentes. Se encuentran los siguientes datos muestrales para el contenido de alquitrán (en
mg):
X = 22 , s = 4
Encuentre un intervalo de confianza del 90% para el contenido medio de alquitrán de un
cigarrillo de la citada marca.
b) Se quiere conocer la permanencia media de los pacientes de un hospital, con el fin de
estudiar una ampliacióndel mismo. Se tienen datos de la estancia expresada en días, de
800 pacientes, obteniéndose los siguientes resultados (en días);
X = 8.1 , s = 9
Hállese un intervalo de confianza del 95% para la estancia media.
a) X = 22 ,


 X − tα


s = 4 , n=20

s
/ 2, n − 1

n

; X + tα / 2.n− 1

s 

n  , t0, 05,19 = 1,729


4
4
 22 − 1,729
;22 + 1,729  = ( 20,5;23,6)20 
20


s
s 
; X + Z α / 2  ,
b) n=800, varianza desconocida;  X − Z α / 2

n
n

9
9 

α = 5% Z 0, 025 = 1,96 ,  8,1 − 1,96
;8,1 + 1,96
 = ( 7,5; 8,9 )
800
800 


Intervalo de confianza para la proporción:


ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
p(1 − p)
p(1 − p) 
 p − Zα / 2

ˆ
ˆ + Zα / 2
;p

n
n 

Ejemplo: Se desea estimar la proporción de jóvenes que fumanregularmente. De 1000
jóvenes entrevistados, 200 fumaban regularmente. Calcule una estimación puntual para p y
obtenga un intervalo de confianza del 99% para la proporción de jóvenes que fuman
regularmente. ¿Le sorprendería leer en un artículo que esta proporción es de 0,23?

ˆ
p=

200
= 0,2 entonces
1000


ˆ
ˆ
ˆ
ˆ 
 p − Z α / 2 p (1 − p ) ; p + Z α / 2 p (1 − p ) 
ˆ
ˆ

nn 


.

Como 1 − α = 99% = 0,99 → α = 1% = 0,01 → α / 2 = 0,005 → Z 0,005 = 2,575


0,2 ⋅ 0,8
0,2 ⋅ 0,8 
 0,2 − 2,575
 = ( 0,1674; 0,2326) .
; 0,2 + 2,575

1000
100 


No sorprendería leer que la proporción es 0,23 ya que este valor está en el intervalo.

Intervalo de confianza para la varianza:



2
2
 (n − 1)s (n − 1)s
 2 ; 2

 χ α ,n− 1 χ 1− α ,n−1 
2
 2

Donde

χ α2 / 2 , χ 12− α / 2 son los valores de la Chi-cuadrado que dejan a su derecha

(respectivamente) áreas de α / 2

y 1 − α / 2 , para n-1 grados de libertad.

Ejemplo: En un estudio de cáncer de pulmón se considera que su tamaño es una variable
aleatoria con distribución aproximadamente normal. Una muestra de 8 pacientes ha
proporcionado los resultados siguientes(en cm):
7,5
2,5
9,0
6,5
3,3
6,5
1,5
6,5
a) Determine un intervalo de confianza del 95% para el tamaño medio de este tipo de
cáncer.
b) Calcule un intervalo de confianza del 90% para la desviación típica del tamaño.

a) A partir de los datos de la muestra calculamos X = 5,41 s = 2,65


s
s 
 X − tα / 2,n− 1 ; X + tα / 2.n− 1 
n
n


,

t 0, 025, 7 = 2,365 entonces2,65
2,65 

; 5,41 + 2,365
 5,41 − 2,365
 = ( 3,19; 7,63)
8
8 

b) El intervalo de confianza para la varianza viene dado por:


 ( n − 1) s 2 ( n − 1) s 2
; 2

2
χ α
 χ α ,n − 1
1− , n − 1

2
2
2
Tenemos: χ 0,05,7 = 14,067

χ 02,95,7 = 2,167 Entonces,

 7 ⋅ 2,652 7 ⋅ 2,652
Iσ 2 = 
 14,067 ; 2,167

Iσ =

(

3,49 ;







)


...