intervalos de confianza

UNIDADV
TEORIA DE ESTIMACION POR INTERVALOS DE CONFIANZA

A pesar de que un estimador posea las buenas propiedades deseables, no se puede pretender que una estimación puntual obtenida con observaciones muestrales sea exactamente igual al valor del parámetro poblacional que se quiere estimar. Por esto es interesante determinar un intervalo dentro del cual se hallará, con cierta probabilidad(1-a) el parámetro a estimar.
Tal intervalo se llama INTERVALO DE CONFIANZA, y el método que utilizó para hallarlo se denomina ESTIMACION POR INTERVALO DE CONFIANZA.

Una estimación por intervalo del parámetro B es de la forma:

^BI < B < ^BS
límite inferior límite superior de la estimación

donde ^BI y ^ BS dependen tanto del valor estimador ^B, para unamuestra en particular, como de la distribución muestral de ^B.

Dado que muestras diferentes, en general producirán valores diferentes del estimador ^B y, en consecuencia, valores diferentes de ^BI y ^ BS , estos puntos extremos del intervalo son valores de la variable aleatoria correspondiente a ^BI y ^ BS .

Si se conoce la distribución muestral del estimador ^B se podrá determinar^BI y^BSde tal manera que
P{ BI < B < BS } = 1- a donde 0 < a < 1 se elegirá de antemano.

En otras palabras: se tendrá una probabilidad 1- a de seleccionar una muestra aleatoria que conducirá a un intervalo de confianza que contenga o cubra al parámetro B.

Entonces , el intervalo ^BI < B < ^BS se llama INTERVALO DE CONFIANZA DEL (1-a) 100 %, [por simplicidad en adelante se escribirá(1-a) %] la cantidad (1- a) se llama COEFICIENTE DE CONFIANZA, y los valores extremos ^BI y^BS son los limites de confianza inferior y superior respectivamente. Por ejemplo, si a=0,05existe una confianza de 95 % ( o una probabilidad de 0,95 ) de que el intervalo hallado cubra al verdadero parámetro B, o lo que es lo mismo, de cada 100 intervalos hallados, 95 cubrirán o contendrán al parámetro B y5 no tendrán esta propiedad. Lo que no podemos afirmar es si el intervalo hallado pertenece al subconjunto de los 95 que cubren o al de los 5 que no cubren a B. Un valor a=0,01 un intervalo de confianza mas amplio, del 99% (o de una probabilidad 0,99 ). A medida que crece el intervalo mayor confianza se tendrá en que este cubra a B, pero un intervalo excesivamente amplio no dará informaciónvaliosa. Lo ideal es obtener intervalos de poca amplitud y gran confianza . Una muestra de n grande conduce a un intervalo de menor amplitud, pero a veces, restricciones de tipo presupuestario o de tiempo, impiden obtener muestras grandes. Por otra parte, en el diseño de la muestra, el tamaño n de la misma fue fijado casi al comienzo de la investigación.



Para la construcción de un intervalode confianza deberá contarse entonces con:
a) Un estimador puntual del parámetro a estimar.
b) Una función de ese estimador y del parámetro cuya distribución muestral se conozca totalmente .
c)Un nivel de confianza específico.

En los casos particulares que se presentaran a continuación se observarán los puntos a) y b).

1) ESTIMACION DE LA MEDIA CON  CONOCIDA

Un estimador puntual de es , con N ( ; 2/ n ), ó bien E()=. y el desvío es = /  n Si la muestra se selecciona de una población normal o bien de no ser así, n es s.g (suficientemente grandes) podremos construir bien un intervalo de confianza para  considerando: distribución de . La función mencionada en el punto b) anterior será en este caso:


Entonces hacemos

P{- Z1-a/2 < Z < Z1- a/2 }= 1 -a

Reemplazando Z será :





Para llegar a la última expresión hemos multiplicado cada término de la desigualdad
por , restado de y multiplicado por (-1), con lo que ha cambiado el sentido de la desigualdad. Es decir:

INTERVALO DE CONFIANZA PARA  CON  CONOCIDO

Si es la media de una muestra aleatoria de tamaño n, de una población con variancia conocida 2, un...