Intervalos de confianza

Licenciatura en Administración Clave: 494
Segundo Parcial
Intervalo de Confianza
Punto extra
Grupo: 51 L
Salón. S1M1
Profesor: Ocariz Rodríguez Adrián
Fecha de entrega: 01 de Abril 2014.





INTERVALO DE CONFIANZA
Se le llama a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Estos númerosdeterminan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional.
La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante talintervalo.1
El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más probabilidad de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumenta su probabilidad de error.
Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teóricaque sigue el parámetro a estimar, θ 2 . Es habitual que el parámetro presente una distribución normal. También pueden construirse intervalos de confianza con la desigualdad de Chebyshev.
En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α por ciento para la estimación de un parámetro poblacional θ que sigue una determinada distribución de probabilidad, es una expresión del tipo [θ1, θ2] tal queP[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, donde P es la función de distribución de probabilidad de θ.
Lo que define la amplitud de un intervalo de confianza son:
 El tamaño de la muestra
 La variabilidad de la población. (normalmente estimada por “S”
 El nivel de confianza deseado.

De una población de media y desviación típica se pueden tomar muestras de elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vezuna media ( ). Se puede demostrar que la media de todas las medias muéstrales coincide con la media poblacional:3
Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,4 la distribución de medias muéstrales es, prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión: Esto se representa como sigue: . Siestandarizamos, se sigue que:
En una distribución Z ~ N (0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)•100 es el porcentaje deseado (véase el uso de las tablas en una distribución normal).
Se desea obtener una expresión tal que
En estadistribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestra ( ), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95 y del 99 por ciento. A este valor se le llamará (debido a que es el error que se cometerá, un término opuesto).
Para ello se necesita calcular el punto —o, mejordicho, su versión estandarizada o valor crítico— junto con su "opuesto en la distribución” . Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente imagen:

Dicho punto es el número tal que:

Y en la versión estandarizada se cumple que:

Así:

Haciendo operaciones es posible despejar para obtener el intervalo:

De lo cual se obtendrá el intervalode confianza:

Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestra ± el producto del valor crítico por el error estándar .
Si no se conoce y n es grande (habitualmente se toma n ≥ 30):5
, donde s es la desviación típica de una muestra.
Aproximaciones para el valor para los niveles de confianza estándar son 1,96 para y 2,576 para .6
Intervalo de confianza para...