Intervalos

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La recta real

El conjunto de los números reales se suele visualizar gráficamente mediante una recta, la recta real. En ella cada número real a ∈ R es representado por un punto de la recta

Intervalo cerrado


Un segmento en el con eje numérico extremos a y b, con a < b, se denomina intervalo. Si los puntos extremos, a y b, están incluidos en el intervalo, se dice que el intervalo escerrado, y se denota por [a,b].
[a,b] = { x perteneciente a R / a -2
-9x < 6
x < -2/3
Se resuelven por separado las inecuaciones y se toman como soluciones los intervalos comunes de las soluciones
5x + 6 < 3x - 8
3x > 2
La solución de la primera ecuación es:
5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7
La solución de la segunda ecuación es:
3x > -2
x < -2/3
La solución del sistema sería x < -7
Unaecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:
[pic]

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el términoindependiente.
Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en [pic]es de la forma:
[pic]
con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.
La ecuación cuadrática es de gran importancia en matemáticas aplicadas, física e ingeniería, puesto que se aplica muy frecuentemente en la resolución de problemas.
Laecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:
1.- Completa: Tiene la forma canónica:
[pic]
donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero.
Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome eldiscriminante
[pic]
ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.
Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. La fórmula general se deduce más adelante.

2.- Incompleta pura: Es de la forma:
[pic]
donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difierenen el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma:
[pic]
con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto, x = 0

3.- Incompleta mixta: Es de la forma:
[pic]donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números complejos.
La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:
[pic],

donde el símbolo "±" indica quelos dos valores
|[pic] |y |[pic] |


son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental.
Inecuaciones de segundo grado.
Se resuelve como una ecuación de segundo grado y se estudian los signos que obtenemos con las soluciones.
x2 -5x + 6 > 0
Las soluciones de la ecuación x2 - 5x + 6 = 0 son x = 3 y x = 2. Por lo tanto x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
Tenemos que estudiar los signos cuando x toma valores desde -∞ hasta 2, desde 2 hasta 3 y desde 3 hasta ∞.
x - 2 es negativo para los valores entre -∞ y 2.
x - 2 es positivo para los valores entre 2 y 3.
x - 2 es positivo para los valores entre 3 e ∞.
x - 3 es negativo...
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