intervalos

Intervalo
Es un espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real , es decir, una parte de recta entre dos valores dados. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real.
Caracterización
Un intervalo real es una parte de que verifica la siguiente propiedad:
Si e pertenecen a con ,entonces para todo tal que , se tiene que pertenece a
Notación
Para la determinación de los intervalos finitos se considera a ≤ b, lo que genera (a, a)= ∅, de modo que se posibilita la existencia de la intersección de dos intervalos abiertos, como intervalo.
Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambasnotaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.
Intervalo Abierto
No incluye los extremos.
• o bien
• Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.
En la topología usualde la recta (o ℝ) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ℝ, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b]. No tiene puntos aislados, mientras que todos sus puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo,de suma importancia en asuntos de límites de funciones.
Intervalo Cerrado
Sí incluye los extremos.
• Que se indica:
• Notación conjuntista o en términos de desigualdades
Incluye únicamente uno de los extremos.
• Con la notación o bien indicamos.
En notación conjuntista:


• Y con la notación o bien ,
En notación conjuntista:

Los cuatro tipos de intervalos anteriores sellaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para los estudios de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc. . Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones queconllevan valor absoluto, la función signo, etc.
Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es (a + b)/2, llamado punto medio, donde los extremos son a y b con a < b. En el caso a=b, no existe punto medio y el intervalo abierto es

Intervalo infinito
Incluye un extremo e infinito por la derecha.
• Con la notación indicamos.
En notación conjuntista:

Sin incluir el extremo:• Y con la notación ,

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

Familia De Intervalos
Operaciones con intervalos
En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:

Esto se lee: A son todos los x reales tales que x es menor que cuatro.
Y el conjunto B:

El conjunto B abarca todos los x, reales, mayores que nueve.

El conjunto unión de A y B sería:

O también se puedeanotar:

La unión de dos o más conjuntos es tomar todos los puntos pertenecientes a cada conjunto.


El conjunto intersección de A y B no existe:

Porque A y B no tienen puntos en común.

Definido el conjunto C:

Es decir, que el conjunto C toma valores entre -3 y 15, siempre siendo x un número real.



El conjunto intersección de A y C es:

El conjunto intersección es aquelque toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos.

Entorno simétrico
Un entorno simétrico o entorno de centro a y radio r se representa:

• Con la notación indicamos.




Entorno reducido
Un entorno reducido de centro ha y radio r se representa:

• Con la notación indicamos.

Un entorno reducido de un punto p es un entorno de p, menos {p}. Por ejemplo,...