Intervalos

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO MUESTRAL
La mayoría de estos problemas han sido propuestos en exámenes de selectividad de los distintos distritos universitarios españoles.

1. Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de helado proporciona los siguientes pesos en gramos 88 90 90 86 87 88 91 92 89

Halla un intervalo de confianza al 95 % para la media de lapoblación, sabiendo que el peso de las tarrinas tiene una distribución normal con una desviación típica de 1,8 gramos. Solución:     El intervalo de confianza para la población es  x  Z / 2 , x  Z / 2  , siendo x la   n n  media muestral,  la desviación típica, n el tamaño muestral y Z  / 2 el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza 1  .
88  90  90  86 87  88  91  92  89  89 9 Por tanto, como  = 1,8, n = 9 y Z  / 2 = 1,96, el intervalo de confianza será:

La media muestral es x 

 1,8 1,8   89  1,96· , 89  1,96·  = (87,824, 90,176)   9 9 

2. La duración de la batería de cierto modelo de teléfono móvil se puede aproximar por una distribución normal con una desviación típica de 5 meses. Se toma una muestra aleatoria simplede 10 baterías y se obtienen las siguientes duraciones (en mese): 33, 34, 26, 37, 30, 39, 26, 31, 36, 19 Halla un intervalo de confianza al 95 % para la duración media de ese modelo de batería. Solución: El intervalo de confianza de la media poblacional, para las muestras de tamaño muestral n de media x y desviación típica  es:      x  Z / 2 , x  Z / 2    n n  siendo Z  / 2 elvalor correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1  . 33  34  26  37  30  39  26  31  36  19 En este caso: x   31,1 ;  = 5; el tamaño 10 muestral es n = 10; y Z  / 2 = 1,96. Por tanto, el intervalo de confianza para la media es  5 5   31,1  1,96· , 31,1  1,96·  = (31,1  3,1, 31,1 + 3,1) = (28, 34,2)   10 10  

José María Martínez Mediano

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3. En una encuesta se pregunta a 10.000 personas cuántos libros lee al año, obteniéndose una media de 5 libros. Se sabe que la población tiene una distribución normal con desviación típica 2. a) Halla un intervalo de confianza al 80 % para la media poblacional.. b) Para garantizar un error de estimación de la media poblacional no superior a 0,25 con un nivel de confianza del95 %, ¿a cuántas personas como mínimo sería necesario entrevistar? Solución: a) El intervalo de confianza de la media poblacional, para las muestras de tamaño muestral n de media x y desviación típica  es:      x  Z / 2 , x  Z / 2    n n  siendo Z  / 2 el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1  . Para x = 5,  = 2, n = 10000 y, para el 80 % deconfianza, Z  / 2 = 1,28.   2 2  5  1, 28· , 5  1,28·  = (5  0,0256, 5 + 0,0256) = (4,9744, 5,0256)   10000 10000   b) El error admitido, E, viene dado por E  Z / 2 Para una confianza del 95%, Z  / 2

 . n = 1,96, y E < 0,25 se tendrá:

1,96

2 n

 0,25 

n  15,68  n  15,682 = 245,8

El tamaño muestral mínimo debe ser de 246 personas.

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4. Se supone que la recaudación diaria de los comercios de un barrio determinado es una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de desviación típica 328 euros. Se ha extraído una muestra de 100 comercios de dicho barrio, obteniéndose que la recaudación diaria media asciende a 1248 euros. Calcula: a) El intervalo de confianza para larecaudación media con un nivel de confianza del 99 %. b) El tamaño muestral mínimo necesario para conseguir, con un nivel de confianza del 95 %, un error en la estimación de la recaudación diaria media menor de 127 euros. Solución: a) El intervalo de confianza de la media poblacional, para las muestras de tamaño muestral n de media x y desviación típica  es:      x  Z / 2 , x  Z / 2 ...