Intervalos

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ESTIMACION POR INTERVALOS
En muchas situaciones, una estimación puntual no proporciona información
suficiente sobre el parámetro. Por esta razón se construyen intervalos de
confianza en donde el parámetro que se estima esta contenido con cierta
probabilidad llamada coeficiente de confianza.
Definición 1 Un intervalo de confianza es un intervalo que tiene a lo menos un
extremo aleatorio y esconstruído de manera tal que el parámetro de interés que
se estima esta contenido en dicho intervalo con una probabilidad 1 − α , llamada
coeficiente de confianza.

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Observación
Un intervalo de confianza puede adoptar una de las siguientes formas:
Bilateral

: P(θˆ 1 ≤ θ ≤ θˆ 2 ) = 1 − α

Unilateral : P(θ ≤ θˆ 2 ) = 1 − α
P(θ ≥ θˆ 1 ) = 1 − α

Con 0 < α < 1

El recorrido de θ es ( −∞, θˆ 2 )
Elrecorrido de θ es (θˆ 1 , ∞) .

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Definición 2 : Intervalo de confianza para la media con varianza conocida
Si x es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño n de una
población con varianza conocida σ 2 , un intervalo de confianza para µ del
100(1 − α) por ciento está dado por
x − z α / 2σ / n ≤ µ ≤ x + z α / 2σ / n

(1)

donde z α / 2 es el punto de la distribución normal estándar quecorresponde al
porcentaje α / 2 .

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Observaciones
1) Para muestras tomadas de una población normal, o para muestras de tamaño
n ≥ 30 , sin importar la forma que tenga la población, el intervalo de

confianza dado por (1) proporciona buenos resultados.
2) Sin embargo, para muestras pequeñas tomadas de poblaciones que no son
normales, no es posible esperar que el nivel de confianza 1 − α seaexacto.

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Ejemplo 1
Los datos que a continuación se dan son los pesos en gramos de contenido de
16 cajas de cereal que se seleccionaron de un proceso de llenado con el
propósito de verificar el peso promedio : 506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512,
514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496. Si el peso de cada caja es una variable
aleatoria normal con una desviación estándar σ = 5 g , obtener losintervalos de
confianza estimados del 90, 95 y 99%, para la media de llenado de este proceso.

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Solución Para un coeficiente de confianza del 90%, α=0.1. El valor z 0.95 se
obtiene de la tabla de la normal y es igual a 1.645. Por otro lado en base a los
datos muestrales, el valor de x es de 503.75g. Entonces un intervalo de
confianza del 90% para la media del proceso de llenado es
503.75 ± 1.6455
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o de 501.69 a 505.81. Los otros intervalos de confianza deseados se obtienen
siguiendo el mismo procedimiento. Los resultados se encuentran resumidos en
la siguiente tabla.

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Intervalos de confianza para el ejemplo 1
Confianza

z1−α / 2

Límite inferior

Límite superior

90%

1.645

501.69

505.81

95%

1.96

501.30

506.20

99%

2.575

500.53

506.97

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Definición 3 Si x se utilizacomo estimación de µ , entonces puede tenerse
una confianza del 100(1 − α) por ciento de que el error x − µ no será mayor
que una cantantidad específica E cuando el tamaño de la muestra sea

z σ
n =  α/2 
 E 

2

(2)

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Ejemplo 2
Considere el proceso de selección de una muestra aleatoria de alguna
2

distribución que tiene una varianza conocida de σ = 10 pero con una media µ
desconocida.¿Cuál debe ser el tamaño necesario de la muestra para que la
media x n se encuentra dentro de un intervalo igual a dos unidades, de la media
poblacional con una probabilidad de, por lo menos, 0.9?

Solución n ≥ 25

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Definición 4 Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias, con
varianzas conocidas.
Si x1 y x 2 son las medias de dos muestras aleatorias independientes de
2
tamaños n1 y n 2tomadas de poblaciones que tienen varianzas conocidas σ1 y
σ 22 , respectivamente, entonces un intervalo de confianza del 100(1 − α) por
ciento para µ1 − µ 2 es
x1 − x 2 − z α / 2 σ12 / n 1 + σ 22 / n 2 ≤ µ1 − µ 2 ≤ x 1 − x 2 + z α / 2 σ12 / n 1 + σ 22 / n 2 (3)

donde z α / 2 es el punto crítico superior que corresponde al porcentaje α / 2 de la
distribución estándar.

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Ejemplo 3 Se...