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Álgebra de conjuntos
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En matemáticas, se denomina álgebra de conjuntos a las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección, etc.
Contenido
1 Conjuntos
2 Operaciones con conjuntos
3 Leyes fundamentales
4 Ejemplo con dos conjuntos
5 Referencias
6 Véase también
7 Enlaces externos
Conjuntos
Artículo principal:Conjunto.

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa.



Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntos y sus elementos:
El conjunto universal, referencial o universo de discurso, que normalmente se denota por las letras , es un conjunto cuyoobjeto de estudio son los subconjuntos del mismo. En la figura tenemos:

Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x, pertecece a un conjunto dado. Esto se indica como:

Si un elemento no pertenece a un conjunto, se indica:

Inclusión. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es un subconjunto de A, y seindica como:

Si un conjunto no esta incluido en otro, se indica:

Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos.
Operaciones con conjuntos

Veamos las operaciones con conjuntos, para ello lo ilustraremos con el ejemplo de lafigura, donde puede ver el conjunto universal adoptado: U y dos conjuntos el A y el B, así como los elementos que pertenecen a cada uno:



Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:
Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B.

Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todoslos elementos comunes de A y B.

Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.



Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.


Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia entre A y B, y se representa A - B, al conjuntoformado por los elementos de A que no pertenecen a B.1 Es decir:

Con esta notación, se expresaria:



Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer (segundo) elemento pertenece a A (a B).
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números. Por ejemplo, launión y la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y el producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión.
Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un álgebrade Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional.2
Leyes fundamentales
Dadas las operaciones binarias sobre conjuntos unión e intersección y la operación monaria complemento, se cumplen algunas leyes o propiedades que se agrupan del siguiente modo:
Proposición 1: para cualquier conjunto A, B y C se cumplen las siguientes proposiciones:
Ley conmutativa:


Ley asociativa:Ley distributiva


Proposición 2: existe un conjunto universal U, para el que se cumple que dado un conjunto A, A es un subconjunto de U, existe un conjunto Ø que llamaremos conjunto vacío
Ley de identidad:


Ley de complemento:





Proposición 3: dados los conjuntos A, B subconjuntos de U, se cumple:
Ley de idempotencia:


Ley de dominación:


Ley de absorción:...