Introducción al diseño de controladores con variables de estado

INTRODUCCIÓN

Anteriormente, se han estudiado y diseñado sistemas lineales e invariables en el tiempo (SLIT); sin embargo, esta metodología no sirve para resolver los sistemas lineales variables en el tiempo (SLVT).
Para resolver estos sistemas, se usa el control moderno.

Concepto de estado

Al modelar un sistema, se produce un conjunto de ecuaciones diferenciales.
Si en lugar deaplicarle la transformada de Laplace se combinan las ecuaciones eliminado las variables no dependientes, se genera una ecuación diferencial de orden n, y al sistema se le llama de este modo.
Esta ecuación puede ser escrita como un conjunto de ecuaciones de primer orden en términos de n variables, la cual puede ser expresada de modo matricial.
A esta representación se le llama modelo de estado omodelo de variables de estado.

Concepto de estado
* El estado de un sistema se define como el conjunto más pequeño de cantidades físicas que se requiere especificar para determinar completamente la evolución del sistema. Un estado representa la historia del sistema, a las variables que se utilizan para especificar el estado del sistema se les llama variables de estado.

Variables deestado
* Las variables de estado de un sistema dinámico son las variables que constituyen el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del mencionado sistema dinámico.
* Se requieren al menos n variables X1, X2,…,Xn para describir completamente el comportamiento dinámico del sistema de orden n. estas son las variables de estado.

Espacio de estado
* El espacio den-dimensiones cuyos ejes coordenados consisten en el eje X1, el eje X2,…, el eje Xn, se denomina espacio de estado. Cualquier estado se puede representar por un punto en el espacio de estado.

ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO

* Para la representación del modelo dinámico de sistemas en el espacio se usan tres tipos de variables:
* Las variables de entrada.
* Las variables de salida.* Las variables de estado.

Forma de las ecuaciones de estado
* Para describir el comportamiento de la dinámica de un sistema, s necesario escribir las relaciones que existen entre las variables de estado, las variables de entrada y las variables de salida.

* Para el caso de los SLIT:

* Mientras que la salida está dada:

Donde el vector de estado es

Mientras que elvector de entrada es

* Así mismo, para esta representación se tiene que:
* Anxn matriz del sistema
* Bnxm matriz de entrada y vector de salida de dimensión p
* Cpxn matriz de salida
* Dpxn matriz que representa un acoplamiento directo entre la entrada y la salida
* u (t) vector de entrada de dimensión m
* x (t) vector de estados en dimensión n
* Parasistemas SISO (simple entrada simple salida), m=1 y p=1

Ejemplo de un modelo de sistema

Para el siguiente sistema RCL

Variables de estado



Derivadas de variables de estado

Aplicando ley de voltajes de Kirchhoff

Despejando

Sustituyendo por variables de estado

Expresado en forma matricial

POLINOMIO CARACTERÍSTICO Y VALORES PROPIOS

Polinomio característico:* Puede ser calculado usando el determinante de la matriz A de la siguiente forma

* Donde a(s) es el polinomio característico
* s es la variable de Laplace
* I es la matriz identidad
* Los valores propios de la matriz A son las raíces de la ecuación característica cuando a(s)=0, es decir:

OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA A PARTIR DE LAS ECUACIONES DE ESTADOPara la transformación que conduzca de un modelo en variables de estado de un sistema a su función de de transferencia correspondiente, se puede hacer empleando la transformada de Laplace, pero tiene una gran limitación ya que al irse incrementando el orden del sistema esto resulta ser impráctico y poco útil por lo que se existe lo que es el algoritmo de Leverrier.

Algoritmo de Leverrier...