Introducción a los números complejos

LOS NÚMEROS COMPLEJOS
UNIDAD 1-Parte I
Cuando se estudia la solución de la ecuación de segundo grado ax²+bx+c=0 se analiza el signo del
discriminante b²-4ac y su relación con las soluciones. Si el discriminante es negativo se dice que la
ecuación no tiene raíces reales sino que las raíces son imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar
los números complejos que nos darán la idea completade la solución de la ecuación de segundo grado
y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del
conjunto de los números complejos.
Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y
notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y lastelecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente
eléctrica.
Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos
Definición. El conjunto de los números complejos, ℂ, es el conjunto de los pares de números reales
z=(x,y), llamado Forma Cartesiana, donde x y y pertenecen al conjunto de los números reales, y se le
denominan parte real y parte imaginariarespectivamente. En matemáticas, los números complejos, z,
constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo.
Operaciones en el campo complejo
En el campo de los números complejos se pueden definir las siguientes operaciones:
Suma: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
Multiplicación: (a,b) (c,d)=(a c-b d, a d + b c)
Dos propiedades que cumplen los pares de númerosreales y que se mantienen para los complejos son:
Igualdad: (a,b)=(c,d) ⬄ a=c ʌ b=d
Multiplicación de una par por un escalar α: α.(a,b)=(α.c, α.d) donde α ∊ ℂ i .
Combinado: (a,b) (c,d)+α .(h,k)=(a c-b d+α .h, a d + b c+α .k)
Ejemplo 1. Dados los números complejos z1=(2,1), z2=(0,-3) y z3=(-1,1), y un número real α = - 2
hallar:
a) z1 + z2=(0,-3)(2,1)+(0,-3)=(2+0,1-3)=(2,-2)
b) z1 .z2=(2,1) (0,-3)=(2.0-1.(-3), 2.(-3) + 1.0)=(3, -6)
c) z1 + z2 + α . z3 =(2,1) (0,-3)+(-2).(-1,1)=(3, -6)+[(-2) .(-1),(-2).1]=(3.-6)+(2.-2)=(5,-8)
Los números complejos, al igual que los números reales se pueden representar en el plano ℝxℝ=ℝ²,
con la salvedad de que en esta representación al Eje X se le llama eje real (Re) y al Eje Y eje
imaginario (Im). Al plano ℂxℂ=ℂ² se le denomina plano complejo(Figura 1).

Figura 1: Representación del número complejo (a,b) .
Se puede considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en
el plano ℝ², i x i=i ² el número complejo (a,0) coincide con el número real a . De esto se tiene que
a=(a,0) donde a ∊ ℝ. Los números complejos de la forma (0,b) son llamados imaginarios puros.
Vamos a demostrar la propiedad dela multiplicación por un escalar α ∊ ℝ:
α.(a,b)=(α .c,α .d)
Para eso escribimos el número real α en la forma (α,0) y aplicamos la definición de multiplicación:
α .(a,b)=(α,0).(a,b)=( α a- 0 b, α b + 0 a)=(α .a, α .b)
En el campo de los complejos al número complejo (0,1) se le denota con la letra i y se le llama unidad
imaginaria i. Es fácil demostrar que i ² = -1 :

i ² =(0,1)²=(0,1)(0,1)=[0.(0)-1.(1),0.(1)+1.(0)]=(-1,0) = -1
Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación x²+1=0 .

x²+1=0 ⇒ x² = -1 ⇒ x² =i ² ⇒ x = √-1⇒ x = ± i
Por lo que sus dos soluciones son: x1 = i; x2 = -i
Forma binómica de un número complejo
Sea z=(x,y) un número complejo. Entonces se puede escribir en la forma:

z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=a(1,0)+b(0,1)
Pero como (1,0)=1 y (0,1)=-i entoncesz=(x,y)=(x,0)+(0,y)=a+b i . En este caso z = x+y i se llama

forma binómica o binomia del número complejo z. ℂ={ z =a + bi; a, b ∈ ℝ, i =√-1 ∈ ℂ}.
Las primeras cuatro potencias de i son: i 0 = 1, i 1 = 1, i 2 = -1, i 3 = -i , se puede demostrar que las
potencias subsiguientes van a reproducir los mismos cuatro resultados, es decir, se obtendrán los
mismos valores cada cuatro potencias de i,...