introduccion al calculo

UNIVERSIDAD DE LA SERENA
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO MATEMATICAS
Otoño 2013
Prof. Carlos Díaz A.
GUÍA N°1
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO – T3
1. Demostrar aplicando axiomática de los númerosreales:
a) x  R  , x  0; entonces x  x 1  2
b) x, y, z, x  R  entonces x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx
1 1
4
c) Sean a, b  R  , demostrar que  
a b ab
d) Sean x, y  R tales que x y  1. Demostrar


1
1
ii) x 2  y 2 
4
2

(i) xy 

2. Demostrar:
a) xy  ab  a y  b  b x  a
b) xy  x 2  y 2 ; x, y  R. (ind : a  a 2  b 2 a, b  R)
3. Encontrar elsupremo, ínfimo de los siguientes conjuntos:
1


a) A   x  R /  2  1
b) B  x  R / x  2 x 2  1
x


2
c) C  x  R / x  x  1









4. Encuentre (si existen) elsupremo e ínfimo correspondiente a los conjuntos A, B,
A  B.
A  xR/ x  3 x
S :  sup remo; ínfimo 1


a) B  x  R / x 

b)


x 

A   x  R / x  x  1  1



S : sup remo 1; ìnfimo  0
Sol. para A  B sup remo  1, inf imo  0



B  xR/ x 5  0

3. Determine si los conjuntos son acotados superior e inferiormente, identificando
(si existen) supremos eínfimos.
2n


a) A   x  R / x 
; n N
n3


2


2n  3
;n  N
b) B   x  R / x 
3n  1



4. Resolver las siguientes desigualdades:
x  2 1 x
a) 2 x 

3
2
3x  1b) 4 
x2
1
x
c) 
0
x 1 x
d) 7 x 2  x

R :(

1
, )
3

R : (2, 9)

R : (0,1)
1
R : (, 0)  ( ,  )
7

x
2x  3

0
1  2x x  1
x 4  17 x 2  60
f)
0
x( x 2 8 x  5)

1 7  13
7  13
R :( ,
)  (1,
)
2
6
6

e)

g)

R :(,  12 )  ( 5 , 0)  (4  11, 5 )  ( 12 , 4  11)
R : 3,6

x 3  x 3

h) 1  x  1  3x

R : (0,1)

12
x2
j) x  1  x  1  4

i)

k) x 2  3x  2  x  0
l) 3x  2  x  3  4
m)
n)
ñ)

x2  x  8
1

x 3

R : (4,  3)  3, 4

0

4x  1  x  6

1
x 1
x2 8...