Introduccion a la dinámica (meteorologia)

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" o "sumideros" la divergencia de dicho campo será diferente de cero.
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En dondequiera que haya un campo vectorial, podemos trazar una superficie y podemosformularnos una pregunta acerca del flujo neto de líneas de fuerza que están atravesando dicha superficie. Aunque la cantidad de líneas de fuerza que atraviesan un pedazo pequeño de la superficie es infinito (al haber una cantidad infinita de puntos dentro de dicho pedazo de superficie), de cualquier manera nos las podemos arreglar para definir el flujo de líneas de fuerza que están atravesando esepedazo de superficie. Esto requiere que consideremos únicamente las líneas de fuerza que, efectivamente, están atravesando la superficie. Si en una porción pequeña de la superficie las líneas de fuerza son tales que están recorriendo la superficie tangencialmente, sin entrar ni salir de la misma, entonces no hay flujo alguno de líneas de fuerza a través de dicha superficie.

En la siguienteilustración, tenemos un flujo de vectores fluyendo en el sentido del eje-x que está atravesando una lámina plana cuadrada montada con sus orillas sobre el eje-y y el eje-z, estando por lo tanto perpendicular al eje-x:

campo vectorial: Flechas rojas (puede ser por ejemplo viento)
Es obvio que si la lámina estuviera acostada en el plano formado por el eje-x y el eje-y, aunque el flujo de vectores semantuviera igual no habría un flujo de vectores atravesandola lámina. Obviamente, la orientación que tenga una superficie con respecto a un flujo de vectores es importante para determinar cuantitativamente el flujo que la atraviesa y al cual denominaremos con la letra Φ.

Vectorialmente hablando, utilizando los vectores unitarios de base usuales i = (1,0,0), j = (0,1,0) y k = (0,1,0) en un sistemade coordenadas rectangulares, y suponiendo que el flujo de vectores de la ilustración de arriba tiene una intensidad de 5 unidades, este flujo de vectores lo podemos representar como:
F = 5 i + 0 j + 0 k

F = 5 i

En este caso, podemos definir el flujo vectorial Φ a través de la lámina simplemente multiplicando la magnitud de la intensidad del flujo de vectores F por el área que estáatravesando:
Φ = F · A

que evaluada numéricamente para este caso resulta ser simplemente:
Φ = F · Δx Δy = 5 · (1) (1) = 5

Este es un ejemplo sencillo, inclusive trivial. Pero si inclinamos la lámina o inclusive si la doblamos, ya no resulta tan trivial. Y si además de ello en vez de un campo vectorial de magnitud constante la lámina es atravesada por un campo vectorial que cambia de direcciónconstantemente, como en el caso de la siguiente figura en donde la lámina ha sido deformada y en donde el campo vectorial cambia de magnitud y cambia de dirección constantemetne:

entonces la determinación del flujo tiene que ser formalizada de alguna manera. Lo primero que se nos viene a la mente es sub-dividir la lámina (como se ha hecho en la figura de arriba) en un gran número de pequeños“pedazos” de superficie, determinar el flujo a través de cada uno de ellos, y sumar la contribución individual para así obtener el flujo total a través de la lámina. Puesto que en cada punto del espacio tri-dimensional cada vector tiene bien definida su magnitud y su dirección, para definir la operación del flujo vectorial en cada uno de esos pequeños “pedazos” de superficie tenemos que asignarle unadirección a cada elemento de superficie.

¿Y cómo le asignamos una dirección a una superficie?

Mediante un vector normal a dicha superficie, un vector perpendicular como el que se muestra a continuación:

Resulta evidente que para una superficie que no es plana, para una superficie curva, habrá un gran número de normales que podemos trazar en cada “pequeño pedazo de superficie”:

De este...