Introducción a la Geometría no Euclidiana

Introducción a la Geometría no Euclidiana

 La geometría euclídea se ha utilizado con éxito durante más de dos mil años y en la actualidad sigue siendo la base para la realización de obras deingeniería, proyectos arquitectónicos y muchas otras aplicaciones. Nuestro Universo, a pequeña escala, se ajusta perfectamente a las leyes de Euclides y a su geometría tridimensional.

     Euclides fue elprimer artífice de una teoría matemática en el sentido actual de la palabra, creando el método axiomático-deductivo que aún se utiliza en nuestros días. Construir una teoría matemática mediante elmétodo axiomático-deductivo consiste en tomar un pequeño número de postulados o axiomas, que se aceptan como verdaderos por su propia evidencia, y deducir a partir de ellos otras propiedades o teoremas deforma razonada. Para que una nueva propiedad pueda integrarse en la teoría matemática no basta que la intuición la acepte como verdadera, sino que es imprescindible obtener una demostración de lamisma mediante las reglas de la lógica, en cuyo caso se convierte en un teorema. A su vez, ese teorema puede utilizarse para demostrar otras propiedades obteniendo así otros nuevos teoremas, y de estaforma el edificio matemático se va ampliando y completando, al igual que una construcción de madera puede agrandarse al añadir sucesivas piezas que se apoyan en las anteriores.

     En su conocidaobra Los Elementos, Euclides seleccionó cinco postulados básicos para construir su geometría, que pueden enunciarse como sigue:

1. Dos puntos determinan una única recta.
2. Todo segmento de recta puedeprolongarse en cualquier dirección.
3. Es posible construir un círculo dados su centro y su radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Dada una recta y un punto exterior a ella, hay una únicarecta que es paralela a la recta dada y que pasa por el punto.

     Durante 2000 años muchos matemáticos dedicaron su tiempo y sus esfuerzos a completar con nuevos teoremas esa gran construcción...