Introntroduccion a los Metodos Numericos

Introducci´on al An´alisis num´erico y tratamiento de errores
Ing. Jes´
us Javier Cort´es Rosas
M. en A. Miguel Eduardo Gonz´alez C´ardenas
M. en A. V´ıctor D. Pinilla Mor´an *
2011

Resumen
Definici´
on de An´
alisis Num´erico. Necesidad del uso de los m´etodos num´ericos. Definici´on,
clasificaci´
on y cuantificaci´
on de errores. Aproximaci´on num´erica.

1.

Definici´
on de An´
alisis Num´erico

El An´
alisis Num´erico es una rama de las matem´aticas[?] que, mediante el uso de algoritmos iterativos, obtiene soluciones num´ericas a problemas en los cuales la matem´atica simb´olica (o anal´ıtica)
resulta poco eficiente y en consecuencia no puede ofrecer una soluci´on. En particular, a estos algortimos se les denomina m´etodos num´ericos.
Por lo general los m´etodos num´ericos secomponen de un n´
umero de pasos finitos que se ejecutan
de manera l´
ogica, mejorando aproximaciones iniciales a cierta cantidad, tal como la ra´ız de una
ecuaci´on, hasta que se cumple con cierta cota de error. A esta operaci´on c´ıclica de mejora del valor
se le conoce como iteraci´
on.
´
Ejemplo. Uno de los ejercicios m´
as comunes en los cursos b´asicos de Algebra
universitaria consiste enencontrar las ra´ıces de un polinomio. El estudiante conoce principios tales como que el
polinomio posee n ra´ıces, donde n es el grado del polinomio. Conoce tambi´en que es posible que
existan exclusivamente ra´ıces reales o bien, una combinaci´on entre ra´ıces reales y ra´ıces complejas,
existiendo estas u
´ltimas en parejas conjugadas. El m´etodo de soluci´on com´
unmente utilizado es la
divisi´onsint´etica (que es un m´etodo num´erico). El estudiante aplica el m´etodo tantas veces como
sea necesario para lograr que el residuo de la divisi´on sea cero, o muy cercano a cero.
No obstante, este procedimiento podr´ıa dejar insatisfecho a un estudiante acusioso pues a´
un cuando
existen mecanismos para elegir un valor incial de una ra´ız, se invierte mucho tiempo mejorando
este valor incial;adicionalmente es complicado obtener las ra´ıces complejas, cosa que usualmente
debe lograrse a trav´es de un cambio de variable y del uso de la f´ormula general para ecuaciones de
segundo grado. Finalmente, este proceso s´olo es aplicable en polinomios; no es posible su aplicaci´
on
en ecuaciones trascendentes.
*

Facultad de Ingenier´ıa, UNAM. Profesores de tiempo completo del Departamento de Matem´aticas Aplicadas de
la Divisi´
on de Ciencias B´
asicas

1

An´alisis num´erico

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El an´alisis num´erico es una alternativa muy eficiente para la resoluci´on de ecuaciones, tanto algebraicas (polinomios) como trascendentes teniendo una ventaja muy importante respecto a otro tipo
de m´etodos: La repetici´
on de instrucciones l´ogicas (iteraciones), proceso que permite mejorar los
valoresinicialmente considerados como soluci´on. Dado que se trata siempre de la misma operaci´
on
l´ogica, resulta muy pertinente el uso de recursos de c´omputo para realizar esta tarea.

2.

Necesidad del uso del an´
alisis num´
erico

El desarrollo y el auge del uso del an´
alisis num´erico corre en forma paralela al desarrollo tecnol´
ogico
de la computaci´
on[?]. Las computadoras (y en consecuencia tambi´enlas calculadoras) est´an facultadas para realizar una multitud practicamente infita de operaciones algebraicas en intervalos de
tiempo muy peque˜
nos; esto las convierte en la herramienta ideal para la aplicaci´on de los m´etodos
num´ericos. De hecho, el an´
alisis num´erico resulta ser la manera natural de resolver modelos matem´aticos (de naturaleza algebraica o trascendente tanto para lamatem´atica continua como para
la discreta) a trav´es de la computadora.
Por otra parte, como consecuencia directa de la aplicaci´on de soluciones num´ericas y del crecimiento
de recursos computacionales, se ha logrado tambi´en la incorporaci´on de la simulaci´on matem´
atica
como una forma de estudio de diversos sistemas.
Sin embargo debe haber claridad en el sentido de que el an´alisis num´erico no...