Inv3estigacion de operaciones 2

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4.7 ESTADOS ABSORBENTES
Los estados que pueden sucederse a sí mismos y, además, es posible alcanzar, por lo menos, alguno de los restantes desde ellos se llaman estados transitorios.
 Un estado tal que si el proceso entra en él permanecerá indefinidamente en este estado (ya que las probabilidades de pasar a cualquiera de los otros son cero), se dice estado absorbente.
 De una cadena de Markovque consta de estados transitorios y absorbentes se dice que es una cadena absorbente de Markov.
 Si una cadena de Markov contiene algún estado absorbente, la línea de la matriz de transición correspondiente a las probabilidades de transición de dicho estado constará de un 1 en la diagonal principal y ceros en los demás  elementos. Será por lo tanto una matriz no regular.
  Para poder estudiarlas cadenas de Markov absorbentes es preciso reordenar la matriz de transición de forma que las filas correspondientes a los estados absorbentes aparezcan en primer lugar. Así ordenada se dirá que la matriz de transición está en la forma canónica.
Podemos dividir la matriz en forma canónica en cuatro submatrices. La primera es la matriz unidad I, del orden correspondiente. La segunda , la matriznula. La tercera contiene las probabilidades de paso de estados transitorios a estados absorbentes. La cuarta contiene las probabilidades de estados transitorios a estados transitorios.
Generalizando:.
Una cadena de Markov absorbente  contiene p estados transitorios y q estados absorbentes. La matriz canónica del proceso  presentará el aspecto siguiente:
.
I: matriz identidad de dimensión qO: matriz nula de dimensión qxp
Q: matriz de dimensión pxq que contiene las probabilidades de paso de estados transitorios a absorbentes.
M: matriz pxp con las probabilidades de los estados transitorios a estados transitorios.
Se llama matriz fundamental de la cadena a la matriz resultado de la operación:
F=(I-M)-1
 
1º)Escribe en la forma canónica las siguientes matrices , indicando el olos estados absorbentes y los transitorios. Observa el diagrama correspondiente y ayúdate de las escenas siguientes realizadas para matrices de orden 3 |
 
4.8 PROBABILIDAD DE TRANSICION ESTACIONARIAS DE ESTADOS ESTABLES. TIEMPOS DE PRIMER PASO
 
Teorema
    Sea P la matriz de transición de una cadena de M estados . Existe entonces un vector  tal que
 
Se establece que para cualquierestado inicial i ,  .
El vector  a menudo se llama distribución de estado estable, o también distribución de equilibrio para la cadena de Markov. Para encontrar la distribución de probabilidades de estacionario para una cadena dada cuya matriz de transición es P, según el teorema, para n grande y para toda i ,  (1)
Como Pij (n + 1) = ( renglón i de Pn )(columna j de P), podemos escribir
(2)
 
 Ejemplo :
    Suponga que toda la industria de refrescos produce dos colas. Cuando una persona ha comprado la cola 1, hay una probabilidad de 90 % de que su siguiente compra se de cola 1. Si una persona compró cola 2, hay un 80 % de probabilidades que su próxima compra sea de cola 2.

Entonces : 
Al reemplazar la segunda ecuación por la condición  ,
obtenemos el sistema 
Al despejar resulta que  Por lo tanto, después de largo tiempo, hay probabilidad 2/3 de que una persona dada compre cola 1 y 1/3 de probabilidad de que una persona compre cola 2.
Con frecuencia es conveniente poder hacer afirmaciones en términos de probabilidades sobre el número de transiciones que hace el proceso al ir de un estado i a un estado j por primera vez . este lapso se llama tiempos de primer paso alir del estado i al estado j. cuando J=i, esta tiempo de primer paso es justo el número de transiciones hasta que el proceso regresa al estado inicial i. En este caso, el tiempo de primer paso se llama tiempo de recurrencia para el estado i.
 Para ilustrar estas definiciones, reconsidérese el ejemplo siguiente :
 
Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se...
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