INVERSA DE UNA MATRIZ

LA INVERSA DE UNA MATRIZ
En la teoría de matrices solamente ciertas clases de matrices cuadradas tienen
inversa, a diferencia del álgebra común donde cada número real a, distinto de 0,
tiene suinverso multiplicativo b.

Matriz identidad
La matriz identidad tiene 1 en la diagonal principal y 0 en las otras posiciones.
Algunos ejemplos de matrices identidad de diferentes órdenes son:

1 0 0 
I 3 0 1 0
0 0 1

1 0
I2  

0 1 

1
0
I4  
0

0

0
1
0
0

0
0
1
0

0
0
0

1

Matriz transpuesta
Es la matriz que se obtiene al intercambiar las filas de una matriz por suscolumnas. La transpuesta de A se representa por AT .
Ejemplo:

Matriz Adjunta
Si A es una matriz cuadrada de n x n, y B es la matriz de sus cofactores, entonces
la Adjunta de A, denotada por adjA es latranspuesta de la matriz B cuadrada
nxn.

 A11
A
 12
 .
adjA  B T  
 .
 .

 A1n
Ejemplo:
Calcular la adjA

A21 ... An1 
A22 ... An 2 
.
. 

.
. 
.
. 

A2 n ... Ann 

1  2 3 A  5  1 2 
3 4  3
Solución.
Paso 1: Se calculan todos los cofactores de la matriz dada.

 1 2 
A11  (1)11 
  5
 4  3

5 2 
A12  (1)1 2 
  21
3  3

5  1
A13 (1)13 
  17
3 4 

 2 3 
1 3 
1  2
A21  (1) 21 
 6 A22  (1) 2 2 
 12 A23  (1) 23 


2
 4  3
3  3
3 4 
  2 3
A31  (1) 31 
 1
  1 2

1 3
A32  (1) 3 2
  13
5 2

1  2
A33  (1) 33 
9
5  1

Paso 2: Con las respuestas formo la matriz B (matriz de cofactores) y luego
obtengo B T que es la adjA .

  5 21 17 
B   6  12 2 
 113
9 

 5  6 1 
B   21  12 13  adjA
 17
2
9 
T

Definición de inversa de una matriz:
Si A es una matriz cuadrada de orden n. Si existe una matriz B tal que:
AB = In = BA,
entonces Bse llama inversa de A y se denota con A 1 . (Se lee “A inversa” o “la
inversa de A”).
Si A es una matriz cuadrada tiene una inversa y decimos que A es invertible. Si A
no es una matriz cuadrada no...