Matriz inversa

MATRIZ INVERSA
En matemáticas, y especialmente en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que
AA−1 = A−1A = In,
donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.
Unamatriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.
La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.
* La inversa de una matriz, si existe, es única.
* La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

* Si la matriz es invertible, tambiénlo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

* Y, evidentemente:

* Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

donde es el determinante de A y es la matriz de adjuntos de A.

MENORES DE UNA MATRIZ
Además del determinante de una matriz cuadrada, dada unamatriz se pueden definir otras magnitudes mediante el empleo de determinantes relacionadas con las propiedades algebraicas de dicha matriz. En concreto dada una matriz cuadrada o rectangular se pueden definir los llamados determinantes menores de orden r a partir del determinante de submatrices cuadradas de rxr de la matriz original. Dada la matriz :

Se define cualquier menor de rango r como:Debe notarse que en general existirá un número elevado de menores de orden r, de hecho el número de menores de orden r de una matriz mxn viene dado por:

Una propiedad interesante es que el rango coincide con el orden del menor no nulo más grande posible, siendo el cálculo de menores una de los medios más empleados para calcular el rango de una matriz o de una aplicación lineal.

MATRIZ DECOFACTORES
En álgebra lineal , el cofactor describe una construcción particular, que es útil para calcular tanto el factor determinante y la inversa del cuadrado de las matrices . Specifically the cofactor of the ( i , j ) entry of a matrix, also known as the ( i , j ) cofactor of that matrix, is the signed minor of that entry. En concreto, el cofactor de la i, j) de entrada (de una matriz,también conocida como la i, j) cofactor (de esa matriz, es el firmado menores de esa entrada
PLANTEAMIENTO INFORMAL A LOS MENORES Y COFACTORES
Finding the minors of a matrix A is a multi-step process: Encontrar los menores de una matriz A es un proceso de varios pasos:
1. Choose an entry a i j from the matrix. Elija una entrada, un i, j de la matriz.
2. Cross out the entries that lie in thecorresponding row i and column j . Tache las entradas que se encuentran en la fila i y columna j correspondientes.
3. Rewrite the matrix without the marked entries. Vuelva a escribir la matriz sin entradas marcadas.
4. Obtain the determinant M i j of this new matrix. Obtener el i M j determinante de esta nueva matriz.
M i j is termed the minor for entry a i j . M i, j se llama el menorpara la entrada de una i, j.
If i + j is an even number, the cofactor C i j of a i j coincides with its minor: Si i + j es una incluso número, el cofactor C i, j de una i, j coincide con su menor de edad:

Otherwise, it is equal to the additive inverse of its minor: De lo contrario, es igual al inverso aditivo de su menor de edad:

The application of the inverse cofactor transform is anespecially powerful tool in mathematics. La aplicación del cofactor transformada inversa es una herramienta especialmente poderosa en matemáticas.
[ edit ] Formal definitionDefinición formal
If A is a square matrix, then the minor of its entry a i j , also known as the i , j , or ( i , j ), or ( i , j ) th minor of A , is denoted by M i j and is defined to be the determinant of the submatrix...