Investigación De Operaciones

INVESTIGACION DE OPERACIONES I (Analisis de Sensibilidad )

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
En la mayoría de las aplicaciones practicas, algunos datos del problema no son
conocidos con exactitud y por esto son estimados tan bien como sea posible. Es
importante poder encontrar la nueva solución optima del problema, cuando nuevas
estimaciones de los datos se encuentran disponibles; sin que sea unatarea cara y
tediosa.
En muchas situaciones las restricciones no son rígidas; por ejemplo, una restricción
puede reflejar la disponibilidad de algún recurso. Esta disponibilidad puede
incrementarse comprando cantidades extras, incrementando tiempo extra, comprando
equipo nuevo. Es deseable saber el efecto de relajar algunas de las restricciones en el
valor de la función objetivo sin tenerque resolver el problema nuevamente.
Min Cx
sujeto a :
Ax = b
x≥0
Variaciones :
a).- Cambios en el vector costo C.
b).- Cambios en el vector b (Limitación).
c).- Cambios en la matriz A (ecuaciones, coeficientes)
d).- Adición de una variable.
e).- Adición de una ecuación.
a).- Cambio en el vector C
1).-

xj es una variable no-básica
zj = cB B-1aj no cambia para toda j
zK -cK esremplazada por zK -c’K
zK -c’K = (zK -cK ) + (cK -c’K)
si zK -c’K ≥ 0, xK debe entrar en solución
si zK -cK ≤ 0, la solución es la misma
2).-

xj es una variable básica
cBi es remplazada por c’Bi
z’j -cj = c’B B-1 aj -cj = (zj -cj) + (c’Bi -cBi) yij, para toda j≠k
z’K -cK = (zK -cK) + (z’K -cK)
Ejemplo :
ING. HECTOR MARTINEZ RUBINCELIS

INVESTIGACION DE OPERACIONES I (Analisis deSensibilidad )

minimizar Z = - 2x1 + x2 - x3
sujeto a :
x1 + x2 + x3
≤6
≤4
-x1 +2x2
x´s ≥ 0
Tabla 1
Cj
XB
X1
S2

b
6
10

Z=

CB
-2
0

-12

-2
X1
1
0
-2
0

1
X2
1
3
-2
-3

-1
X3
1
1
-2
-1

0
S1
1
1
-2
-2

0
S2
0
1
0
0

Supongamos que c2 = 1 es reemplazada por -3; como x2 es no básica, entonces z2 - c’2
= (z2 - c2) + (c2 - c’2) = -3 +4 = 1, y elresto zj - cj no son afectadas.
Tabla 2
Cj
CB
-2
0

XB
X1
S2

b
6
10

Z=

-12

-2
X1
1
0
-2
0

-3
X2
1
3
-2
1

-1
X3
1
1
-2
-1

0
S1
1
1
-2
-2

0
S2
0
1
0
0

Sale S2 de
solución

Entra X2 en solución

Ahora supongamos que c1 = -2 es reemplazada por c’1 = 0. Como x1 es básica, la
nueva fila de costos excepto z1 - c1, y sumando a laantigua fila de costos ;
(z1 - c1) + (c’1 - c1)
Tabla 3
Cj
CB
0
0

XB
X1
S2

b
6
10

Z=

0

-2
X1
1
0
0
0

1
X2
1
3
0
-1

-1
X3
1
1
0
1

0
S1
1
1
0
0

0
S2
0
1
0
0

Sale X1 de
solución

Entra X3 en solución

b).- Cambios en el vector b (limitación).

ING. HECTOR MARTINEZ RUBINCELIS

INVESTIGACION DE OPERACIONES I (Analisis de Sensibilidad)

Si el vector b es reemplazado por b’, entonces B-1 b será reemplazada por B-1 b’.
B-1 b’ = B-1 b+ (b’ - b)B-1
Si B-1 b ≥ 0, entonces la misma base permanece y los valores de las variables básicas
son B-1 b’ y la función objetivo es cB B-1 b’. Si B-1 b < 0, entonces aplicando el
método simplex

Vector entrante ( Xj )= Min

{

}

zj - cj , yij < 0
yrj

donde i corresponde a lafila en que b es negativo.

Vector saliente bi = Min ( bi ) ; reemplazar

B-1 =

[

1
1

0
1

]

por lo que B-1 b =

[

[]
6
4

1
1

0
1

por

][ ]
3
7

3
7

[]
por

[]
3
7

B-1b´ ≥ 0 , entonces la solución es optima.
c).- Cambios en la matriz A (vector fila o columna)
Caso I) vectores activos para las columnas básicas.
Aj es modificada por A’j
Eneste caso es posible que el conjunto corriente de vectores básicos dejen de formar
la base después del cambio. Aun si esto no ocurre al menos un cambio en una
columna de la matriz básica modificará a B-1 y así a las entradas de cada columna;
obtenemos Y’j = B-1 a’j, donde B-1 es la corriente base inversa; obtenga cB B-1 a’j - cj y
añada una nueva columna que contenga el vector de la variable...