Investigacion

ESPE
Escuela Politécnica del Ejército

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ecuaciones de Sturm-Liouville y Funciones de
Bessel

Diego Guzmán Calderón
Periodo: Marzo 2013- Agosto 2013

1 de Julio del 2013

Indice general

1. Ecuacion de Sturm-Liouville
IFIF
IFPF
IFQF
IFRF
IFSF
IFTF

sntrodu™™ion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
he(ni™ionde ƒistem—s de ƒtrumEviouville F F F F F F F F F F F F F F F F F
ƒistem—s ‚egul—res de ƒturmEviouville F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
ƒistem—s ƒingul—res de ƒturmEviouville F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
ƒistem—s €eriodi™os de ƒturmEviouville F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
‚esult—dos qener—les de ƒistem—s de ƒturmEviouville F F F F F F F F F F F
IFTFIF sdentid—d dev—gr—nge F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
IFTFPF pormul— de e˜el F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
IFTFQF il oper—dor v de ƒturmEviouville es —utoE—djunto F F F F F F F F F
IFTFRF v—s fun™iones propi—s ™orrespondientes — distintos v—lores propios
de un sistem— de ƒturmEviouville son ortogon—les ™on respe™to —l
produ™to interior ™on l— fun™ion peso w(x)F F F F F F F FF F F F F

2. Funciones de Bessel

PFIF sntrodu™™ion F F F F F F F F F F F F F F F
PFPF ƒolu™iones del l— e™u—™ion F F F F F F F
PFPFIF gu—ndo n es entero F F F F F F F
PFPFPF gu—ndo n no es entero F F F F F
PFPFQF gu—ndo naH F F F F F F F F F F
PFQF pun™iones riper˜oli™—s F F F F F F F F F
PFRF pun™iones esferi™—s F F F F F F F F F F F
PFSF ƒolu™ion de l—s e™u—™iones de fessel en3. Bibliograa

F F F F F
F F F F F
F F F F F
F F F F F
F F F F F
F F F F F
F F F F F
m—xim—

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FF
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F

1

I
P
Q
R
S
S
S
T
U
U

9

W
W
W
II
IP
IQ
IQ
IR

18

1 Ecuacion de Sturm-Liouville

1. Ecuacion de Sturm-Liouville
1.1. Introduccion
v— e™u—™ión de ƒturmEviouvilleD que tom— su nom˜re de t—™ques gh—rles pr—n™ois
ƒturm (1803 − 1855) y toseph viouville (1809 − 1882)D es un— e™u—™ión diferen™i—l line—lde segundo orden de l— form—

d
dy
[p(x) ] + q(x)y + λw(x)y = 0
dx
dx
en dondeX
p(x), q(x), w(x)X fun™iones de(nid—s en un interv—lo (nito [a, b]F
λX v—lores propios del pro˜lem—F
f—jo suposi™iones norm—les en los ™oe(™ientes de l—s fun™iones p(x), q(x), w(x)D indu™en
oper—dores diferen™i—les hermiti™os en —lgun—s fun™iones de(nid—s por l—s ™ondi™iones de
fronter—F v— teori—result—nte de l— existen™i— y el ™omport—miento —sintoti™o de los v—loE
res propiosD l— teori— ™u—lit—tiv— ™orrespondiente de l—s fun™iones propi—s y sus fun™iones
—de™u—d—s ™omplet—s se ™ono™e ™omo teori— de ƒturmEviouvilleF ist— teori— es imporE
t—nte en m—tem—ti™— —pli™—d—D donde los pro˜lem—s ƒEv o™urren muy ™omÃo nmenteD
p—rti™ul—rmente —l resolver e™u—™iones diferen™i—les p—r™i—les ™on sep—r—™ionde v—ri—E
˜lesF
vos pro˜lem—s de ƒturmEviouville son import—ntes p—rti™ul—rmente porque surgen en
divers—s ™ir™unst—n™i—s y p—rti™ul—rmente porque l—s propied—des de los v—lores y ve™E
tores propios son ˜ien ™omprendid—sF €or ejemploD en™ontr—mos que existe un ™onjunto
de v—lores propios λk D k = 0, 1, 2, ... y que el ™onjunto de fun™iones propi—s yk (x)D
k = 0, 1, 2, ... es ™ompleto yluego es—s fun™iones pueden ser utiliz—d—s p—r— form—r seE
ries gener—liz—d—s de pourierF
vos result—dos de ƒturm y viouville son impresion—ntes ™u—ndo los vemos en el ™ontexto
de l—s m—temáti™—s —l iní™io del siglo ˆsˆF entes de 1820 los tr—˜—jos en e™u—™iónes
diferen™i—les est—˜—n enfo™—dos en en™ontr—r solu™iones en términos de fórmul—s (nit—sD
pero p—r— l— e™u—™ión gener—l ƒturm no...