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´ Ingenier´a Matematica ı

FACULTAD DE CIENCIAS ´ F´SICAS Y MATEMATICAS I Ingenier´ Matem´tica ıa a UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Calculo Diferencial e Integral 08-2 Universidad de Chile

Basado en el apunte del curso C´lculo a (2da semestre), de Roberto Cominetti, Mart´ Matamala y Jorge San Mart´ ın ın.

SEMANA 13: INTEGRALES IMPROPIAS

7. Integrales Impropias
´ 7.1. Introduccion
En ladefinici´n de la integral de Riemann se impusieron dos condiciones fundao mentales que son: 1. Se define en el intervalo cerrado y acotado [a, b], a < b 2. Se define para funciones acotadas en [a, b] El prop´sito de esta secci´n, es extender la noci´n de integral al caso de intervalo o o o no acotados, y al caso de funciones no acotadas sobre un intervalo acotado. Estas dos extensiones dan origen a lasllamadas integrales impropias de primera y segunda especie respectivamente. Partamos por la definici´n del primer tipo o de ´stas: e Definici´n 7.1 (Integral Impropia de Primera Especie (Intervalo no Acotado)). o Sea f : [a, +∞) → diremos que f es integrable en [a, +∞) si se cumple que: Integral Impropia de
Primera Especie

(i) ∀x ∈ (a, +∞), f es integrable en [a, x] y adem´s a (ii) Existe el l´ ımitedefinido por
x x→ ∞

l´+ ım

f
a
+∞

f
a

Notaci´n: Si una funci´n es integrable en el intervalo:[a, ∞) entonces al o o valor del l´ ımite se le llama integral impropia de primera especie de f y se le denota
+∞ x

f = l´ ım
a

x→∞

f.
a

Observaciones
x

1. Si el l´ ımite l´ ım

x→∞

f existe, se dice que la integral impropia es convergente
a

y si no existe sedice que la integral impropia es divergente. 2. De una manera an´loga se definen las integrales de 1◦ especie siguiente a
b b

i)
−∞

f = l´ ım

x→−∞

f
x

141

Ingenier´ Matem´tica ıa a
∞ c ∞

Universidad de Chile
puede ser cualquie-

ii)
−∞

f=
−∞

f+
c

f donde la constante c ∈

ra. En esta ultima definici´n es importante que las dos integrables de ´ o la derechaexistan o que sean convergente. Si alguna de estas integrales no converge entonces la integral de la izquierda tampoco . Ejemplo 7.1. Dado a > 0, estudiar la convergencia de la integral Claramente f (x) = l´ ımite
1 x +∞

dx . x a es integrable en [a, b] para cualquier b > a. Veamos el dx = l´ ım x→∞ x
x a

+∞ a

dt x = l´ [ln ( )] = ∄. ım x→∞ t a

Por lo tanto se trata de una integraldivergente.

Ejemplo 7.2. Dado a > 0 y α = 1, estudiar la convergencia de la integral
a

+∞

dx . xα

Nuevamente basta con estudiar el l´ ımite:
+∞ a

dx xα

x

=

x→∞

l´ ım

a

dt 1 1 = l´ ım x→∞ (1 − α) tα−1 tα 1 xα−1 − 1 aα−1 =

x a −1 1 (1−α) aα−1

1 = l´ ım x→∞ (1 − α)



si α > 1 si α < 1

Por lo tanto esta integral impropia es convergente cuando α > 1 ydivergente si α < 1. Juntando estos dos ejemplos podemos resumir diciendo que
+∞ a

dx xα

=

Converge Diverge

si α > 1 si α ≤ 1

Definici´n 7.2 (Integral Impropia de Segunda Especie (Funciones no Acotadas)). o Sea f : [a, b) → una funci´n no acotada, diremos que f es integrable en [a, b) o Integral Impropia de Segunda Especie ssi: (i) ∀x ∈ (a, b)f es integrable en [a, x]
x

(ii) El l´ımite l´ ım Observaciones

x→b−

f existe.
a

x

1) Cuando el l´ ımite l´ ım

x→b−

f existe, se dice que la integral impropia cona

verge, y cuando no existe se dice que la integral impropia diverge.

142

Ingenier´ Matem´tica ıa a
2) Se anota
x x→b− −b

Universidad de Chile
−b

f
a

l´ ım

f=
a a

f.

3) La primera condici´n de integrabilidad de este tipo defunciones exige, o entre otras cosas, que la funci´n f debe ser acotada en todo intervalo o (a, x), es decir, este tipo de funciones se caracterizan por tener una as´ ıntota vertical en x = b. 4) En forma an´loga se definen las integrales impropias siguiente: a
b b

(i) (ii)
a+

f = l´ ım
a+ b− c

x→a+

f
x b−

f=
a+

f+
c

f,

c ∈ (a, b)

En esta ultima definici´n la...
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