investigacion

INTRODUCCIÓN A FUNCIONES
ANALÍTICAS Y TRANSFORMACIONES
CONFORMES

Gabriel D. Villa Salvador
Centro de Investigación y
Estudios Avanzados del
Instituto Politécnico Nacional

PREFACIO

En estas notas se da una introducción a transformaciones conformes y algunas de
sus aplicaciones a la teoría del potencial.
En los primeros Capítulos se estudian algunos de los temas básicos de lavariable
compleja con el fin de hacer estas notas casi autocontenidas y a su vez presentar una
introducción a la teoría de una variable compleja. Sin embargo se han dejado de lados temas
de suma importancia como son prolongación analítica, aplicación de la teoría de los
residuos al cálculo de integrales, superficies de Riemann, etc.
El lector interesado en transformación conforme puede leerdirectamente el Capítulo
3, § 3 y los Capítulos 6 y 7, haciendo caso omiso del resto de las notas.

Febrero de 1989.

ii

NOTACIONES

R
Q
N
Z
C
Rn

Números Reales.
Números Racionales.
Números Naturales.
Números Enteros.
Números Complejos.
(x 1 ‚ … ‚ x n ) | x i ∈

[a,b)
[a,b]
(a,b)
(a,b]

{x
{x
{x
{x

♦

Final de una demostración.

Ø
Fc
U

Conjunto vacío.

∀z

Para todo.
Conjugado de z.

|z|
sup A
inf
∈

Norma de z.
supremo del conjunto A.
ínfimo del conjunto A.
pertenece.

[•]
⊂, ⊆
−−
−→
n→∞

referencia a la bibliografía.
Contención entre conjuntos.
Límite cuando n se va a ∞.

{

∈
∈
∈
∈

R
R
R
R

|a
|a
|a
|a

≤
≤
<
<

x
x
x
x

<
≤
<
≤

R‚

b} .
b} .
b} .
b} .

Complemento del conjuntoF.
{z ∈ C | |z| < 1}.

iii

}

1 ≤ i ≤ n .

Notaciones
∞

∑a

Serie.

n=0 n

∞

{zn}n=1
lim

Sucesión.
Límite inferior.

n→∞

lim

n→∞

Límite superior.
∞

{ }k=1

Subsucesión.

⇒

Implica.

sn

(

k

)
( )

B z ‚ε
0
B z0‚ε

bola abierta.

∫ f(ξ) dξ

integral de línea.

H+

semiplano superior.
semiplano inferior.

bola cerrada.γ

H

–

iv

CONTENIDO
PREFACIO

........................................................

ii

NOTACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

CONTENIDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

CAPITULO 1: LOS NUMEROSCOMPLEJOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 1 Propiedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2 Sucesiones y Series en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
6

CAPITULO 2: TOPOLOGIA DE C Y FUNCIONES CONTINUAS......
§ 1 Topología de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2 C o n e x i d a d ....................................................
§ 3 Conjuntos Compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 4 Funciones Continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 5 La Esfera de Riemann . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42
42
48
51
53
61

CAPITULO 3: DIFERENCIACION COMPLEJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 1 D e r i v a c i ó n ....................................................
§ 2 Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3 Funciones Elementales . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64
64
78
93

CAPITULO 4: INTEGRACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 1 Integración Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2 Fórmula Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....