Investigación

La elipse.
Elipse
Una elipse es una circunferencia aplastada. Una circunferencia tiene un centro, pero una elipse tiene dos focos ("A" y "B" abajo).

Definición
Una elipse es el conjunto de todos los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es una constante. Así que, no importa dónde estés en la elipse, puedes sumar las distancias al punto "A" y al punto "B" y siempresaldrá lo mismo. (Los puntos "A" y "B" se llaman los focos de la elipse)

Dibújala
Clava dos clavos en un tablero, pon un lazo de cuerda alrededor de ellos, y pon un lápiz en el lazo. Tensa la cuerda para que forme un triángulo, y sigue la línea... habrás dibujado una elipse.

Una circunferencia es una elipse

En realidad una circunferencia es una elipse, donde los dos focos son el mismopunto (el centro). O sea, una circunferencia es un "caso especial" de elipse.

Sección de un cono
También sale una elipse cuando cortas un cono (con un ángulo pequeño). Por tanto, la elipse es una sección cónica (una sección de un cono).

Calculando Área
El área de una elipse es π × r × s (Si es una circunferencia, r y s son iguales, y sale π × r × r = πr2, ¡que es correcto!)

Aproximación alperímetro
Aunque parezca extraño, el perímetro de una elipse es muy difícil de calcular, así que he creado una página especial para ese tema: lee Perímetro de una elipse para ver los detalles. Pero una aproximación sencilla que está a menos de 5% del valor correcto (siempre que r no sea más de 3 veces s) es la siguiente:

¡Recuerda, sólo es una aproximación!

Perímetro de una elipse
En lapágina sobre la Elipse hablamos de la definición y algunas propiedades simples de la elipse, pero ahora vamos a ver exactamente cómo se calcula el perímetro.

Perímetro
Aunque parezca extraño, ¡el perímetro de una elipse es muy difícil de calcular! Hay muchas fórmulas, aquí tienes algunas interesantes:

Aproximación 1
Esta aproximación está a menos de 5% del valor correcto, siempre que r nosea más de 3 veces s (en otras palabras, si la elipse no está demasiado "aplastada"):

Aproximación 2

El famoso matemático indio Ramanujan descubrió esta aproximación más exacta:

Serie infinita 1
Esta es una fórmula exacta, pero hace falta un "número infinito" de cálculos para el valor exacto, así que en la práctica sólo te da una aproximación. Primero tienes que calcular "ε" (llamado la"excentricidad"):

Después usa esta fórmula con "suma infinita":

que queda así al desarrollar:

La suma sigue indefinidamente, y desgraciadamente necesitas muchos términos para llegar a una respuesta razonablemente correcta.

Serie infinita 2
Pero mi fórmula exacta favorita (porque da un valor muy cercano al correcto con sólo unos pocos términos) es esta:

Primero calculas "h":Luego usas esta fórmula con "suma infinita":

(Nota: el

es un coeficiente binomial con factorial de semienteros... ¡uau!)

Que no te dé miedo, esto se desarrolla y queda así:

Cuantos más términos calculas, más exacto es el resultado (el siguiente término es h4/16384, que es bastante pequeño)

Comparando
Por diversión, he usado las dos aproximaciones y las dos fórmulas exactas (pero sólosumando cuatro términos, así que también son aproximaciones) para calcular el perímetro con estos valores de r y s:
r Circunf. 10 10 10 10 s 10 5 3 1 Aprox 1 62.832 49.673 46.385 44.65 Aprox 2 62.832 48.442 43.857 40.606 ε 0 0.866 0.954 0.995 Serie 1 62.832 48.876 45.174 43.204 h 0 0.111 0.29 0.669 Serie 2 62.832 48.442 43.859 40.623

Líneas

10

0

44.429

39.834

1

42.951

139.884

 

Cuando s=r, la elipse es una circunferencia, y el perímetro es 2πr (62.832 en nuestro ejemplo). Cuando s=0 (en realidad la forma son dos líneas que van y vuelven) el perímetro es 4r (40 en nuestro ejemplo).

Todas las fórmulas calculan correctamente el perímetro de la circunferencia, pero sólo la "Aproximación 2" y la "Serie 2" se acercan al valor 40 para el caso s=0. A mí...