isometricos

Solución
1. Al graficar la curva c se obtiene

t 0 π⁄4 π⁄2 3π⁄4 π
X = 1 – Cos 2t 0 1 2 1 0
y = 4. Cos t 4 2√2 0 -2√2 - 4

2. El are de la región R, es: A(R) = 1/2 ∮_(c1 ∪ c2)▒〖x dy-y dx〗

Si aplicamos el corolario, porque c2 es un segmento vertical, la formula se reduce a la forma :

A(R) = ∫_c2▒〖x(t) y^' (t)dt , donde dy=y^' (1)dt〗


= -∫_0▒〖x.dy 〗 …………. El signo - es porque estamos cambiando el sentido de la . . parametrizacion de c2(que no sigue la dirección según la . región R)

= - ∫_0▒〖(1-cos⁡〖2t)-4 sen t).dt〗 〗

= ∫_0▒〖(-4.sent+4 sen t.cos⁡〖2t) 4t〗 〗
= 14/3μ2


EJEMPLO 10

Hallar el área de la región limitada por las graficas de la curvas

C1 = {█(x= 1/2 t+ 2@y=t)┤ - 2≤t ≤4

C2 = {█(x=3+t@y= -2+t)┤ 0 ≤t≤6


Ejemplo 5

Calcular el área de la región limitada por las curvas t = 2 a cosθ y r= a(1 + cosθ)

Solución
Nota : Cuando una región está limitada por dos o más curvas, hacer doscosas

Resolver el sistema {█(r=2a.cosθ @r=2( 1+cosθ )┤
Graficar
Solución
1. Al graficar la curva c se obtiene

t 0 π⁄4 π⁄2 3π⁄4 π
X = 1 – Cos 2t 0 1 2 1 0
y = 4. Cos t 4 2√2 0 -2√2 - 4

2. El are de la región R, es: A(R) = 1/2 ∮_(c1 ∪ c2)▒〖x dy-y dx〗

Si aplicamos el corolario, porque c2 es un segmentovertical, la formula se reduce a la forma :

A(R) = ∫_c2▒〖x(t) y^' (t)dt , donde dy=y^' (1)dt〗


= - ∫_0▒〖x.dy 〗 …………. El signo - es porque estamos cambiando el sentido de la . . parametrizacion de c2(que no sigue la dirección según la .región R)

= - ∫_0▒〖(1-cos⁡〖2t)-4 sen t).dt〗 〗

= ∫_0▒〖(-4.sen t+4 sen t.cos⁡〖2t) 4t〗 〗
= 14/3μ2


EJEMPLO 10

Hallar el área de la región limitada por las graficas de la curvas

C1 = {█(x= 1/2 t+ 2@y=t)┤ - 2≤t ≤4

C2 = {█(x=3+t@y= -2+t)┤ 0 ≤t≤6


Ejemplo 5

Calcular el área de laregión limitada por las curvas t = 2 a cosθ y r= a(1 + cosθ)

Solución
Nota : Cuando una región está limitada por dos o más curvas, hacer dos cosas

Resolver el sistema {█(r=2a.cosθ @r=2( 1+cosθ )┤
Graficar
Solución
1. Al graficar la curva c se obtiene

t 0 π⁄4 π⁄2 3π⁄4 π
X = 1 – Cos 2t 0 1 2 1 0
y = 4. Cos t4 2√2 0 -2√2 - 4

2. El are de la región R, es: A(R) = 1/2 ∮_(c1 ∪ c2)▒〖x dy-y dx〗

Si aplicamos el corolario, porque c2 es un segmento vertical, la formula se reduce a la forma :

A(R) = ∫_c2▒〖x(t) y^' (t)dt , donde dy=y^' (1)dt〗


= - ∫_0▒〖x.dy 〗 …………. El signo - es porque estamos cambiando el sentido de la .. parametrizacion de c2(que no sigue la dirección según la . región R)

= - ∫_0▒〖(1-cos⁡〖2t)-4 sen t).dt〗 〗

= ∫_0▒〖(-4.sen t+4 sen t.cos⁡〖2t) 4t〗 〗
= 14/3μ2


EJEMPLO 10

Hallar el área de la región limitadapor las graficas de la curvas

C1 = {█(x= 1/2 t+ 2@y=t)┤ - 2≤t ≤4

C2 = {█(x=3+t@y= -2+t)┤ 0 ≤t≤6


Ejemplo 5

Calcular el área de la región limitada por las curvas t = 2 a cosθ y r= a(1 + cosθ)

Solución
Nota : Cuando una región está limitada por dos o más curvas, hacer dos cosas

Resolver el sistema {█(r=2a.cosθ @r=2( 1+cosθ...