Isomorfismo

Isomorfismos entre espacios vectoriales.

En esta apartado estudiamos un tipo de aplicaciones lineales interesantes: : los isomorfismo entre espaciosvectoriales. Cuando existe un isomorfismo entre V y W, diremos que V y W son espacios isomorfos.
En el siguiente teorema caracterizamos los espacios vectoriales isomorfos:Teorema 1. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces V y W son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión.
Ejemplo:
1.- LosR-espacios vectoriales R4 Y P3 (R) son isomorfos porque ambos tienen dimensión 4. Por ejemplo, la aplicación F:R4 →P3 (R) definida por f((a, b, c, d)) = a+bx+cx2+dx3 esun isomorfismo entre ambos espacios vectoriales.

Objetivos. Definir las nociones de isomorfismo y espacios vectoriales isomorfos. Demostrar el criterio deespacios vectoriales isomorfos en el caso de dimensión finita.
1 .Definición (isomorfismo de espacios vectoriales). Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo F.Una aplicación T : V → W se denomina isomorfismo de V sobre W si es biyectiva y lineal. Lo último significa que

2. Ejemplo: La aplicación T : M2,3(R) → R6,definida por la regla

Es un isomorfismo.
3. Proposición: Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F, T : V → W un isomorfismo. Entonces la aplicacióninversa 1/T : W → V también es lineal y por lo tanto también es un isomorfismo.
Teorema 2. Sean V y W espacios vectoriales de la misma dimensión finita: dim(V ) =dim(W)< +∞. Entonces V ∼= W.
Idea de la demostración. Puede aplicar el teorema anterior o construir un isomorfismo T : V → W usando algunas bases de V y W.