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Ejercicios:

MÉTODOS MÉTODOS ITERATIVOS Y DIRECTOS PARA SISTEMAS LINEALES Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación

1) Considere el siguiente sistema lineal: 3 1 1 1 2 3 0 0 0 1 2 2 a) Muestre que el algoritmo de Gauss- Jacobi es convergente. b) Muestre queel algoritmo de Gauss-Seidel es convergente. (indicación: Muestre que A es e.d.d. y que 1). c) Considere
( )

Sol:

(0 0 0) como vector de inicio. Calcule el vector método de Gauss-Jacobi. d) Calcule el vector ( ) para el método de Gauss-Seidel.

( )

para el

a) Para que la matriz A sea estrictamente diagonal dominante (e.d.d.) se debe cumplir que: | | | |

Entonces: |3| |3| |2||1| |2| |1|

|1| |0| |0|

2; 3 2; 3 1; 2

2 2 1

Por lo tanto A es e.d.d., entonces existe su inversa b, siendo A (D E F), donde:

El sistema lineal se puede escribir de la forma A*

D: Matriz Diagonal de A. E: Matriz Triangular Inferior de A, con su Diagonal Nula. F: Matriz Triangular Superior de A, con su Diagonal Nula. Entonces: (D E F) b D (E F)
) )

Para que el algoritmo deJacobi sea convergente Entonces se tiene que:

(

(

b /*
( )

(E F)

( )

con

1 . (Norma inducida {1 ó ∞})

(E F) y

.

3 0 0

0 0 3 0 ; 0 2

1/3 0 0

Las Normas son:

0 2/3 0

1/3 0 1/2

1/3 0 0

1/3 0 0

0 1/3 0

0 1/3 0

0 0 ; 1/2 0 0 1/2

0 2 0

0 2 0

0 0 1

0 0 0 0 ; 1 0 0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 1 1 1 0 0 0 ; b= 0 0 0 0 2 1 0 0

1

1Como

1 , entonces el algoritmo de Jacobi es convergente. b, siendo A D E F , donde:

Entonces: D E F

b El sistema lineal se puede escribir de la forma A*

b

D E

F

b /*

F

Entonces se tiene que:
3 2 0 0 0 3 0 1 2

Para que el algoritmo de Seidel sea convergente
1

; con

1. Norma inducida {1 ó ∞}
0 1 0 0 0 0 1 1 ; b= 0 0 0 2

y

.

; 1/3 2/9 1/9

LasNormas son:

0 0 0

1/3 2/9 1/9

1/3 2/9 1/9

0 1/3 1/6

1/3 2/9 1/9

0 0 0 * 0 1/2 0

0 0 1/3 0 ; 1/6 1/2 1 1 0 0 0 0

1

1

Como

1 , entonces el algoritmo de Seidel es convergente.

c

Para calcular la segunda iteración vector del método de Gauss-Jacobi con 0 0 0 , se debe ocupar el algoritmo: ó E F E F b Sin Calcular la inversa de D Con el cálculo de la inversa de D

•Para el Caso1:
3 0 0 3 0 0 0 3 0 0 3 0 0 0 2 0 0 2

Aplicaremos los 2 casos.
( +1) ( +1)

= =

(

Con k=0;
3 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2

(1) (1) (1)

Con k=1;

( )

=

(2) (2)
(2)

1/3 0 1

0 = 2 0 0 = 2 0 1 = 0 2

0 2 0

0 2 0

)

=

1 0 1 1 0 1

0 0 0 1 1 0 0 + 0 0 0 1 0 0 0 01 1 1 ( ) + 0 0 0 1 0 2 1 1 (0) + 0 0 0 2 1 0 1 0 0 + 0 0 0 2

(E+F)

( )

+ b, se tiene que:
( )

+ 0
2

1

; Con

( )

0 = 0 0

= =

( )

=

0 2/9 1

=

0 2 0 0 2 0 0 2/3 2

1 0 1 1 0 1

1 1 (1) + 0 ; Con 0 0 2 1 1/3 1 0 0 + 0 0 2 1

( )

=

1/3 0 1

Vector buscado.
)

•

Para el Caso2:
( ( ) )

3 = 0 0 1/3 = 0 0

0 3 0

(

0 1/3 0

0 0 21

=

0 0 1/2

0 2 0

0 0 1 0 2 0

(E+F)

0 0 0 + 0 0 0 1 1 0 0 1 0

( )

+

1 0 0
(

3 0 0 1 1 + 0 3 0 0 0 0 2 2 1/3 0 0 1 ) + 0 1/3 0 0 0 0 1/2 2
( )

1 0 0

, se tiene que:

Con k=0;

= =

0 2/3 0 0 2/3 0

=
Con k=1;

1/3 0 1

1/3 0 1/2 1/3 0 1/2

1/3 0 0 1/3 0 0

0 0 0

1/3 0 1 1/3 0 1

; Con

0 = 0 0

= = =
d

0 2/3 0 0 2/3 0

1/3 01/2 1/3 0 1/2

1/3 0 0 1/3 0 0

0 2/9 1

Vector buscado.

1/3 0 1

1/3 0 1

; Con

1/3 0 1

1/3 = 0 1

Para calcular la segunda iteración vector

D E ó

= 0 =

0 0 , se debe ocupar el algoritmo: = F

del método de Gauss-Seidel con

Sin Calcular la inversa de D E

Con el cálculo de la inversa de D E

Para el Caso1:
3 0 2 3 0 1 0 0 2

Aplicaremos los 2 casos.
1...