jairuby ecuaciones

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente puedenpertenecer a conjuntos diferentes, en un anillototalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero o cero.
Definición
Se llama potencia a una expresión de la forma a^n, donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al quepertenezca el exponente.
Exponente entero [editar]
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:
(1)\begin{array}{ll}
a^1 = & a \\
a^2 = & a \times a \\
\vdots & \vdots \\
a^n = & \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n \text{ veces}},
\end{array}
Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales ocomplejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.
Multiplicación de potencias de igual base
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:
Ejemplos:



Potencia de una potencia : La potencia de una potencia de base a es igual ala potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):


Debido a esto, la notación  se reserva para significar  ya que  se puede escribir sencillamente como .
Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:


Si la base a tiene inversoaditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:
 si n es par.
 si n es impar.
Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que, entonces este se denota por  y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:

Observación

División de potencias de igual base
El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con unexponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor ,1 esto es:

Ejemplo:

Potencia de exponente 0
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:2 3

El caso particular de , en principio, no está definido
Potencia de un cociente
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismoexponente.

Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo , por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:


Exponente racional

La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo , de manera que , pero se ha de garantizar que dicha x sea un número real y estosólo se puede garantizar para toda n si la basea es un número real positivo, por lo que existe un teorema que dice:
Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva.
Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:

Observación





Exponente real

La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se recoge en elsiguiente teorema:

Dado un número real positivo a y una sucesión de números racionales que tiene límite b, entonces existe el límite de la sucesión  que se escribe como:

Nótese que las sucesivas aproximaciones de ab tienen como exponente números racionales, con lo que para que la definición sea consistente, se exige que a sea un número real positivo.
Análogamente, se puede extender la potenciación a...