Javier

Movimiento
oscilatorios:
amortiguado, forzado.
Masa sujeta a un resorte

Ley de Hooke:
F = −kx

Segunda Ley de Newton:

ma = −kx; a = −ω 2x; ω =
Conservación de la energía:
1
1
˙
E = m x 2 + mω 2x2
2
2
2E
x=
˙
− ω 2x2
m
1

k
m

libre,

dx
2E
m
x
x0

= dt

− ω 2 x2

dx
2E
m

t

dt =t

=
0

− ω 2x2

2E
sen u
m
u
u − u0
du =
ω −1
=t
ω
u0u = u0 + ωt
2E
x=
sen(ωt + u0)
2m
ω
ωx =

x(t) = A sen(ωt + φ)
A:Amplitud; ω: Frecuencia Angular;φ: Constante de Fase;
T : período
x(t + T ) = x(t), para todo t
ωT = 2π, T =

2π
ω

Frecuencia f :
f=

1
T

Se mide en ciclos por segundo. 1 ciclo por segundo=1
hertz=1 hz.
2

(a) Una curva x(t) para una partícula efectuando
un movimiento armónico simple. La amplitud delmovimiento es A, el período es T, y la constante de
fase φ. (b) Lo mismo para el caso particular x = A, t =
0; φ = π/2.
ENERGIA
x(t) = A sen(ωt + φ)
v(t) = Aω

cos (ωt + φ)

1
1
K = mA2 ω 2cos2(ωt + φ) U = mA2 ω 2sen2(ωt + φ)
2
2
3

1
E = K + U = mA2 ω 2
2
VELOCIDAD:
1
1
1
E = mA2 ω 2 = mv 2 + mω 2x2
2
2
2
√
v = ±ω A2 − x2

Ejemplo 1. Un cubo de 0.500-kg conectado aun resorte
con k = 20 N /m oscila en una superficie horizontal sin
roce.
(a) Calcula la energía total del sistema y la velocidad
máxima del cubo si la amplitud del movimiento es 3.00
cm.
1
E = mA2 ω 2
2

m = .5 kg, A = 0.03m, ω =
√
40 rad/s

20
=
.5

E = 0.009J
(b) Cuál es la velocidad del cubo si el desplazamiento es
2.00 cm?
√

v = ±ω A2 − x2
√ √
√
−4
−4
v = 40 9 × 10− 4 × 10 = 2 × 10−1m/s
4

(c) Encuentre la energía potencial y cinética del sistema
para x=2.00 cm.
(d) Encuentre la frecuencia angular, el período y la
frecuencia del movimieno.
2π 6.28
T=
=√ s
ω
40
√
f = 40 /6.28 Hz.
Ejemplo 2. Un auto con masa 1 300 kg se construye de
tal manera que su estructura se sustenta sobre 4 resortes.
Cada resorte tiene una constante de fuerza igual a20
000 N/m. Si dos persona que viajan en el auto tienen una
masa combinada de 160 kg, encontrar la frecuencia de
vibración del auto luego de pasar por un bache en la pista.
Suponga que la masa se distribuye uniformemente.
m = 1460/4 = 365kg
2
20000
=
×102
ω=
365
365
ω
f=
= 4.8 × 10−4Hz.
2π

Comparación entre
armónico simple y
5

movimiento
movimiento

circular uniformex(t) = A cos (ωt + φ)

y(t) = A sen(ωt + φ)

ω es la velocidad angular de rotación en el círculo.
Ejemplo 3. Una partícula rota en dirección contraria
a las agujas del reloj en un círculo de radio 3.00 m con
velocidad angular constante de 8.00 rad/s. En t = 0 la
partícula tiene una coordenada x = 2.00 m y se mueve
hacia la derecha .
(a) Encuentre x(t).
x(t) = A cos (ωt + φ)
2 = 3cosφ, cos φ = 2/3 φ = 311.8◦

6

(b) Encuentre vx(t).
=−Aω sen(ωt + φ)

Pendulo Simple

Segunda Ley de Newton(Componente tangencial de la
fuerza):
¨
ml θ = −mg sen θ
sen θ ≈ θ, θ ≪ 1
g
¨
θ =− θ
l
Conservación de la energía:
1
E = ml2θ˙2 + mgl(1 − cos θ)
2
1
cos θ ≈ 1 − θ 2
2
7

θ≪1

1
1
E = ml2θ˙2 + mglθ 2 I = ml2 ω =
2
2
2E
θ=
sen(ωt + u0)
ω 2ml2
T=

2π
= 2πω

g
l

l
g

El período de un péndulo simple depende solo de l y g, y
no de m.
Ejemplo 4. Christian Huygens (1629-1695), el
mejor relojero de la historia, sugirió que una unidad
internacional de longitud podría ser definida como la
longitud de un péndulo simple con período igual a 1s.
A qué longitud corresponde?
T = 2π
T
l=g
2π

l
g

2

= 9.8/6.282m = 0.25m

Movimientosde Sistemas cerca de un
punto de equilibrio estable

8

Energía potencial:
1
U (x) = U (x0) + U ′(x0)(x − x0) + U ′′(x0)(x − x0)2 +
2
′
U (x0) = 0
Máximo(Equilibrio Inestable):
U ′′(x0) < 0
Mínimo(Equilibrio Estable):
U ′′(x0) > 0
Punto de Inflexión(Equilibrio Indiferente):
U ′′(x0) = 0
Conservación de la energía:
1
E = m x 2 + U (x0) +
˙
2
1 ′′
U (x0)(x − x0)2
E ′ = E −...