Jesús

UNIDAD 2
LIMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL
Los temas tratados hasta ahora, constituyen lo que se conoce como: precálculo; es
decir, proporcionan las herramientas básicas para elcálculo, pero no constituyen el
cálculo. Se trata ahora de establecer, inicialmente de una manera intuitiva por medio de
ejemplos, y posteriormente de forma precisa, el concepto mas importante delcálculo: el
de Límite.
Algunos autores definen el cálculo como el estudio de los límites.
La noción de límite aparece no sólo en los temas objeto de este curso, sino que muestra
una gran importanciaen cursos de Análisis y de Cálculo vectorial.

2.1. NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE
2x 2 − x −1
; x ≠ 1. El único punto
x −1
real en el cual f(x) no está definida es en x = 1; pero, en puntos tancercanos a 1
como se desee, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente
pregunta: ¿Se aproxima f(x) a algún valor específico, cuando x se aproxima a 1?

Considérese lafunción definida por:

y = f ( x) =

En las tablas siguientes se hace un seguimiento de f(x), cuando x se aproxima a 1
por la izquierda (valores menores que 1) o por la derecha (valores mayores que1).
x
0
0.3
0.5
0.75
0.9
0.95
0.99
0.995
0.999
0.9995
0.9999
.
.
.
1.000

f(x)
1
1.6
*
2
2.5
2.8
2.9
2.98
**
2.99
2.998
2.999
2.9998
.
.
.
No Definido
Tabla 2.1x
2
1.7
1.5
1.25
1.1
1.05
1.01
1.005
1.001
1.0005
1.0001
.
.
.
1.000

f(x)
5
4.4
*
4
3.5
3.2
3.1
3.02
**
3.01
3.002
3.001
3.0002
.
.
.
No Definido
Tabla 2.2

Laobservación atenta de ambas tablas sugiere una respuesta a la pregunta formulada
antes. Nótese que a medida que los valores de x, se “acercan” a 1, sin tomar el
valor de 1, los valores de f(x) se“acercan” a 3. Dándole a la palabra límite un
significado intuitivo, se dice que:
El “límite” de la función f(x) es 3 cuando x tiende a 1.
La afirmación anterior se expresa simbólicamente por...