POLINOMIOS DE LAGRANGE
El polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.
Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

DEFINICION
Dado un conjunto de k + 1 puntos

Donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal

De bases polinómicas de Lagrange

DEMOSTRACION
La función que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k con

El polinomio en la forma de Lagrange es una solución al problema de interpolación:
Como puede verse fácilmente
1. es un polinomio y es de grado k.
2.
Así, lafunción L(x) es un polinomio de grado k y

El problema de interpolación puede tener tan solo una solución, pues la diferencia entre dos tales soluciones, sería otro polinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros.
Por lo tanto, L(x) es el único polinomio interpolador.
CONCEPTO
La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para nuestro polinomio interpolador, llegamos a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, llegamos a la forma más simple de matriz identidad = δi, j, que puede resolverse inmediatamente.

EJEMPLO
La función tangente y su interpolador.
Se desea interpolar f(x) = tan(x) en los puntos
x0 = − 1.5 f(x0) = − 14.1014
x1 = − 0.75 f(x1) = − 0.931596
x2 = 0 f(x2) = 0
x3 = 0.75 f(x3) = 0.931596
x4 = 1.5 f(x4) = 14.1014
Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, [continua]

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