Jjuu
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Publicado: 24 de octubre de 2010
Cuando se aplica el método de Aitken a una sucesión obtenida mediante una iteración de punto fijo se conoce como método de Steffensen.
Contenido * 1 Definición * 2 Propiedades *3 Ejemplos * 3.1 Ejemplo 1 (Aceleración de una sucesión) * 3.2 Ejemplo 2 (Aceleración de una serie) * 4 Notas * 5 Referencias |
Definición
Dada una sucesión , se calcula la nuevasucesión definida como
.
Si se emplea el operador Δ de las diferencias progresivas definido como
Δxn = xn + 1 − xn.
Δ2xn = Δ(Δxn) = xn + 2 − 2xn + 1 + xn
también puede escribirse como:Propiedades
El proceso Δ² de Aitken es un método de aceleración de la convergencia, y en particular un caso de transformación no lineal de una sucesión.
x converge linealmente a si existe un número μ ∈ (0, 1)tal que
El método de Aitken acelerará la sucesión xn si y sólo si
Aunque la nueva sucesión no converge en general de forma cuadrática, se puede demostrar que para un método de punto fijo, esdecir, para una sucesión x(n + 1) = f(xn) para alguna función iterada f, convergiendo hacia un punto fijo, la convergencia es cuadrática. En este caso, la técnica se conoce como método de Steffensen.Ejemplos
[editar] Ejemplo 1 (Aceleración de una sucesión)
El valor de puede aproximarse mediante la sucesión an con valor inicial a0 = 1 definida de manera iterativa como:
n | x = valor iterado |y = valor calculado |
0 | 1 | 1.4285714 |
1 | 1.5 | 1.4141414 |
2 | 1.4166667 | 1.4142136 |
3 | 1.4142157 | -- |
4 | 1.4142136 | -- |
[editar] Ejemplo 2 (Aceleración de una serie)
El...
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