joel

5.3 Probabilidad de un evento
Definición. (Axiomática de probabilidad)
Sea Ω el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. La probabilidad de cualquier evento A de Ω es el número real P(A) que satisface los siguientes axiomas:
P1. P(A) ≥ 0 para A
P2. P (Ω)=1
P3. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes entonces,P (AᴜB) = P(A)+P (B).
Estos axiomas se comprueban por ejemplo cuando Ω es finito y la probabilidad es definitiva como un número relativo (ver sección 5.4.4)
De los axiomas de probabilidad resultan los teoremas que siguen:
TEOREMA 5.1
Si Ø es el evento que no ocurre entonces, P (Ø)=0
Demostración
Los eventos Ω y Ø son excluyentes. Además, Ω= ΩᴜØ.Por lo tanto, por el axioma P3, P (Ω)= P (Ω)+P (Ø) de donde resulta, P (Ø)=0
NOTA
Si P(A)=0 entonces, no necesariamente A= Ø
TEOREMA 5.2
Si es el evento complementario del evento A entonces, P (=1-P(A)
Demostración
Los eventos A y son excluyentes. Además, Ω= AU
Por lo tanto, por el axioma P3, P(Ω)= P(A)+P() y por P2, 1=P(A)+P(
De donde resulta que P=1-P(A). Observe que,también P(A)=1-P(.
TEOREMA 5.3
Si A y B son dos eventos tales que AcB entonces, P(A) ≤P(B)
Demostración.
AcB implica que, B=AU(B-A) donde, A y B-A son eventos excluyentes.
Por el axioma P3 se tiene, P(B)=P(A)+P(B-A) o P(B)-P(A)=P(B-A).
Por otra parte, por el axioma P1, P(B-A)≥0 entonces,
P(B)-P(A) ≥ 0 o P(A) ≤ P(B).
NOTAS
1. Para todoevento A se verifica la relación: Ø c A c Ω .entonces,

P(Ø)≤P(A) ≤P(Ω)
Consecuencias, 0≤P(A) ≤1
2. La probabilidad de un evento es una media de la fiabilidad de que ocurra el evento, por ejemplo, si P(A)=0.7 entonces , la fiabilidad de que ocurra el evento A es en 7 casos de 10, o en 70 de los 100casos de 1000,etc.
3. La probabilidad P es una función definitiva en eventos que son partes de Ω ,asocia a cada evento A el numero real P(A) 𝜖 [0,1] que satisface los axiomas de la probabilidad .



TEOREMA 5.4 ( regla de la adición de probabilidades)
Si A y B son dos elementos cualquiera entonces,

P(AᴗB)= P(A)+P(B)-P(AᴖB)





Figura 5.3Demonstración
En la figura 5.3 se tiene que: AᴗB=Aᴗ() donde, A y B son eventos excluyentes. Además, B=AB ᴗ (siendo, AB y B también excluyente. Por el axioma P3,
P(AᴗB)=P(A)+P y
P(B)=P(AB)+P(
De estas dos identidades resulta : P(AᴗB)=P(A)+P(B)-P(AᴖB)
Observe que la regla de la adición de probabilidades para los eventosexcluyentes viene a ser el axioma P3 de probabilidades.






































5.4.2 Espacio muestral infinito numerable
Sea un espacio muestral infinito numerable. Entonces, se puede expresar como una unión disjunta infinita de sus elementos elementales, esto es,

Aplicando los axiomas P2 yP4 resulta:Luego si A es un evento de , cuyos eventos elementales pueden ser equiprobables o no, entonces,

EJEMPLO 5.13
Un dato se lanza sucesivamente hasta que aparezca el primer uno.
a) Describa el espacio muestral del experimento y asigne una probabilidad a cada unode sus elementos.
b) Compruebe que P(=1
c) Si dos personas A y B juegan lanzando el dado uno después del otro y si gana el que obtiene el primer uno, calcule la probabilidad de que A gane el juego, si el comienza primero.

SOLUCION
A) Sea E (éxito) el evento :“sale uno en la tirada i” y sea F (fracaso) el evento “no sale uno en la tirada i”, donde i=1,2,3, etc

El espacio muestral que...