Jone

Hola, es difícil dar un explicación clara sin ayuda de un diagrama.
Por eso te pido que hagas un dibujo a medida que te doy la resolución para ir fijando ideas.

Antes te aclaro que para que elresultado sea el explicado, las rotaciones respecto a los arboles deben tener sentidos opuestos.

Dibujá los supuestos puntos,
a: para representar la posición del primer árbol
b: para representar laposición del segundo árbol
h: para situar la horca

para no atarnos a ninguna referencia en particular, vamos a tomar un centro de referencia cualquiera (punto O), elegí otro punto cualquiera.Vamos a usar notación de vectores para llegar al resultado, es lo mismo que
decir números complejos, pero no me interesan en particular sus partes real
e imaginaria. Entonces

a será el vectorpara el primer arbol(desde O),
b será el vector para el segundo arbol(desde O),
h será el vector para la horca (desde O).

Sigamos los pasos del enunciado:

la ubicación de la primer estaca seobtine como una rotación centrada en a
del punto h, 90 grados horarios. Usando los vectores:

ubicación estaca 1 = (h-a) * e^(-j pi/2) + a

lo ves? (h-a) es un vector que va del punto a al h, y lomultiplico por la
exponencial compleja para rotarlo 90 grados. Pero además tenés que sumar a
porque el giro es con respecto al punto a. De no hacerlo estarías obteniendo otro punto rotado respecto aO.

De la misma manera:

ubicación estaca 2 = (h-b) * e^(j pi/2) + b

Sólo que esta vez la rotación es en el otro sentido.

El punto de tesoro se obtiene como el promedio de éstos:

ubicacióntesoro = { [(h-a)*e^(j pi/2) + a] + [(h-b)*e^(-j pi/2) + b] } / 2

Si hacés un poco de álgebra da

ubicación tesoro = [ a(1 - e^(-j pi/2)) + b(1 - e^(j pi/2)) ] / 2

El término en h desapareceporque e^(-j pi/2) = -e^(j pi/2) y se anulan.
Como vés la ubicación del tesoro es independiante de la posición de la horca.

Ahora, si trabajás la ultima expresión un poco más, verás que el...