Jordan

Números complejos
1. Introducción

Podemos pensar en las progresivas ampliaciones de los conjuntos numéricos como el método necesario para resolver ecuaciones algebraicas progresivamente complicadas. Así, el paso de N a Z se justificaría por la necesidad de dar solución a una ecuación como x + 5 = 0, y el paso de Z a Q por la necesidad de dar solución a ecuaciones de la forma 5x = 1. El paso deQ a R es más complicado de explicar en este momento, puesto que es más topológico que algebraico, pero permite además dar solución a ecuaciones como x2 − 2 = 0. El paso de R a C viene motivado históricamente por la necesidad de trabajar con las soluciones de ecuaciones como x2 + 1 = 0, es decir, con raíces cuadradas de números negativos. Inicialmente, se trabajaba con dichas raíces, llamadasnúmeros imaginarios por Descartes, como paso intermedio hasta llegar a un número real (típicamente elevando el número imaginario al cuadrado en algún momento de los razonamientos). Posteriormente, en los siglos XVIII y XIX, se formaliza la noción de número complejo, lo que convierte a estas entidades algebraicas en “miembros de pleno derecho” de las familias numéricas. 2. Definición

La manera mássencilla de trabajar con los números complejos es dar un nombre √ abreviado a −1. A esta cantidad la llamaremos i. Hecho eso, y suponiendo inicialmente que esta cantidad “se portará bien”, ya podemos realizar cálculos como √ √ √ −25 = (−1)(25) = −1 25 = 5i. Necesitaríamos poder sumar y multiplicar estos nuevos números. Está claro que si b, c ∈ R, se debiera tener bi + ci = (b + c)i. Veamos elproducto. En primer lugar está claro que si hemos definido i como entonces i2 = −1. Por otro lado, para a, b ∈ R no podremos simplificar la expresión a + bi. √ −1,

Por otro lado, si vamos a tener un producto asociativo, conmutativo y distributivo respecto de la suma, se deberá tener (a + bi)(c + di) = ac + bdi2 + adi + bci = ac − bd + (ad + bc)i. Con esto ya sabríamos sumar y multiplicar complejos.
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3.

Formalización

Como siempre en matemáticas, estas ideas intuitivas se pueden (y se deben) formalizar. Una de las formalizaciones más habituales es pensar en los complejos como pares (a, b) ∈ R × R con una suma y un producto definidos por (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc). Es un ejercicio sencillo comprobar que la suma es conmutativa, asociativa, queexiste un elemento neutro (el (0, 0)) y que todo elemento tiene simétrico. Igualmente fácil es comprobar que el producto es conmutativo, asociativo, que existe un elemento neutro (el (1, 0)) y que todo elemento distinto de (0, 0) tiene inverso. También es fácil comprobar que el producto es distributivo respecto de la suma. Decimos entonces que los números complejos tienen estructura de cuerpoconmutativo, noción que ya conoceréis más adelante. Es obvio que esta formalización (cuya notación apenas utilizaremos) coincide con la noción intuitiva descrita en la sección anterior, sin más que identificar (a, b) ≡ a + bi. A cualquiera de estas dos notaciones se las conoce como forma binómica del número complejo. Llamaremos C al conjunto de los números complejos con la suma y producto definidos. Esmuy fácil darse cuenta de que podemos identificar de manera natural un elemento a de R con el complejo a + 0i = (a, 0). De esta forma podemos considerar R como un subconjunto de C. Análogamente, tendríamos un conjunto destacado de números complejos formado por aquellos de la forma bi = 0 + bi = (0, b). A estos números se les denomina a menudo imaginarios puros. Dado un complejo z = a + bi nosreferiremos a a como su parte real y a b como su parte imaginaria a = ℜz, b = ℑz.

4.

Interpretación geométrica

Puesto que podemos ver un número complejo como un par (a, b) ∈ R × R, es natural interpretarlo como un punto del plano. Llamaremos plano complejo al plano R×R cuando pensamos en él como formado por números complejos. Es claro que en el plano podemos identificar el eje de abscisas...