JUAN CHILAN Algebra GRUPO 3162 AULA B206
Páginas: 5 (1157 palabras)
Publicado: 28 de junio de 2015
ALGEBRA LINEAL
JUAN CHILAN
Temas a exponer
1.
Espacios vectoriales.
2.
Subespacios vectoriales.
3.
Independencia lineal.
4.
Bases y dimensiones .
5.
Sistemas homogéneos.
6.
El rango de una matriz y sus aplicaciones.
7.
Coordenadas y cambios de base.
8.
Bases ortogonales el proceso de Grant Smith.
9.
Introducción a las transformaciones lineales.
Espacios Vectoriales
Cualquierconjunto que posea unas operaciones suma y
producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades
anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos
de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de
objetos diferentes a los vectores de la Física.) Diremos que el
espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.
Subespacios
Dado un espacio vectorial V, sedice que un subconjunto S de V es un
Subespacios vectorial si contiene al vector Ō , y si al efectuar las operaciones de
suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S.
(Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por
escalar.)
Es decir:
•Ō∈S.
• Si v, w ∈ S entonces v + w ∈ S.
• Si v ∈ S y λ es un escalar, entonces λ v ∈ S.
Ya no hace faltacomprobar que se cumplen las propiedades asociativa,
conmutativa, etc. puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también
en S (se dice que S “hereda” las propiedades de las operaciones en V).
Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V
Independencia lineal
En caso de que un conjunto de vectores no sea linealmente
dependiente, se dice que es linealmenteindependiente (o libre).
Por tanto, escribiendo la negación de la definición de
dependencia lineal, tendremos que un conjunto de vectores es
linealmente independiente cuando:
A.
Ninguno de ellos es combinación lineal de los demás.
B.
La única forma de poner Ō como combinación lineal de los
vectores, es con todos los coeficientes nulos.
Base
Se llama base de un espacio (o subespacio) vectoriala un
sistema generador de dicho espacio o Subespacios, que sea a la
vez linealmente independiente.
Propiedades de las bases.
1.
Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más
pequeño posible).
2.
Además es un conjunto independiente maximal dentro de S
(lo más grande posible).
3.
Una base de S permite expresar todos los vectores de S
como combinación lineal de ella, de manera únicapara cada
vector.
Dimensiones
Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el
mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho
espacio o subespacio.
Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores
independientes que podemos tener en el espacio o subespacio.
En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un Es
también el rango de cualquier sistema generador dedicho
espacio. conjunto de vectoresde dicho espacio.
Sistemas Homogeneos
Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los
términos independientes nulos se dice que es homogéneo.
Sólo admite la solución trivial: x1 = x2 =... = xn = 0.
La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo
tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de
los coeficientessea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra
forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.
r
De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en el que
r(A)=r(A') y su valor es menor al número de incógnias, siendo así el
sistema compatible indeterminado.
Rango De Una Matriz
Dado un conjunto de vectores, si quitamos aquellosque sean combinación
lineal de los demás, queda finalmente un cierto número de vectores, que ya son
independientes.
Este número no depende del camino seguido, y se llama rango del conjunto de
vectores.
El rango es, por tanto, el número de vectores independientes que contiene el
conjunto.
Propiedades del rango.
1.
En ℜ, el rango de un conjunto de vectores es igual al rango de la matriz
que...
JUAN CHILAN
Temas a exponer
1.
Espacios vectoriales.
2.
Subespacios vectoriales.
3.
Independencia lineal.
4.
Bases y dimensiones .
5.
Sistemas homogéneos.
6.
El rango de una matriz y sus aplicaciones.
7.
Coordenadas y cambios de base.
8.
Bases ortogonales el proceso de Grant Smith.
9.
Introducción a las transformaciones lineales.
Espacios Vectoriales
Cualquierconjunto que posea unas operaciones suma y
producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades
anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos
de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de
objetos diferentes a los vectores de la Física.) Diremos que el
espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.
Subespacios
Dado un espacio vectorial V, sedice que un subconjunto S de V es un
Subespacios vectorial si contiene al vector Ō , y si al efectuar las operaciones de
suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S.
(Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por
escalar.)
Es decir:
•Ō∈S.
• Si v, w ∈ S entonces v + w ∈ S.
• Si v ∈ S y λ es un escalar, entonces λ v ∈ S.
Ya no hace faltacomprobar que se cumplen las propiedades asociativa,
conmutativa, etc. puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también
en S (se dice que S “hereda” las propiedades de las operaciones en V).
Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V
Independencia lineal
En caso de que un conjunto de vectores no sea linealmente
dependiente, se dice que es linealmenteindependiente (o libre).
Por tanto, escribiendo la negación de la definición de
dependencia lineal, tendremos que un conjunto de vectores es
linealmente independiente cuando:
A.
Ninguno de ellos es combinación lineal de los demás.
B.
La única forma de poner Ō como combinación lineal de los
vectores, es con todos los coeficientes nulos.
Base
Se llama base de un espacio (o subespacio) vectoriala un
sistema generador de dicho espacio o Subespacios, que sea a la
vez linealmente independiente.
Propiedades de las bases.
1.
Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más
pequeño posible).
2.
Además es un conjunto independiente maximal dentro de S
(lo más grande posible).
3.
Una base de S permite expresar todos los vectores de S
como combinación lineal de ella, de manera únicapara cada
vector.
Dimensiones
Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el
mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho
espacio o subespacio.
Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores
independientes que podemos tener en el espacio o subespacio.
En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un Es
también el rango de cualquier sistema generador dedicho
espacio. conjunto de vectoresde dicho espacio.
Sistemas Homogeneos
Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los
términos independientes nulos se dice que es homogéneo.
Sólo admite la solución trivial: x1 = x2 =... = xn = 0.
La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo
tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de
los coeficientessea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra
forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.
r
De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en el que
r(A)=r(A') y su valor es menor al número de incógnias, siendo así el
sistema compatible indeterminado.
Rango De Una Matriz
Dado un conjunto de vectores, si quitamos aquellosque sean combinación
lineal de los demás, queda finalmente un cierto número de vectores, que ya son
independientes.
Este número no depende del camino seguido, y se llama rango del conjunto de
vectores.
El rango es, por tanto, el número de vectores independientes que contiene el
conjunto.
Propiedades del rango.
1.
En ℜ, el rango de un conjunto de vectores es igual al rango de la matriz
que...
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