Juros compostos

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JUROS COMPOSTOS

Da capitalização simples, sabemos que o rendimento se dá de forma linear ou proporcional. A base de cálculo é sempre o capital inicial. No regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma exponencial. Os juros do período, são calculados com base num capital, formando um montante, que será a nova base de cálculo para o período seguinte.

Chama-seperíodo de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação rende juros.

Sendo o tempo de aplicação igual a 2 anos, por exemplo, e os juros capitalizados mensalmente, teremos 24 períodos de capitalização; para uma capitalização bimestral, a quantidade de períodos será igual a 12; se a capitalização for semestral, será 4 , e assim sucessivamente.

EXEMPLO:
Na aplicação de R$ 1.000,00durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes.

Observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos:
1º período:

|100% |R$ 1.000 | |
|102% |M |( M = R$1.020,00 (esta é a nova base de cálculo para o período seguinte) |

| |CAPITAL |MONTANTE |
|2º período: |R$ 1.020,00 ( 1,02 |= R$ 1.040,40 |
|3º período: |R$ 1.040,40 ( 1,02 |= R$ 1.061,21 |
|4º período: |R$ 1.061,21 ( 1,02 |= R$ 1.082,43 |
|5ºperíodo: |R$ 1.082,43 ( 1,02 |= R$ 1.104,08 |

Portanto, o montante ao final dos 5 meses será R$ 1.104,08.

No cálculo, tivemos
R$ 1.000 ( 1,02 ( 1,02 ( 1,02 ( 1,02 ( 1,02
= R$ 1.000 ( (1,02)5
= R$ 1.000 ( 1,10408
= R$ 1.104,08

Observamos o fator (1,02)5. Essa potência pode ser calculada com calculadoras científicas ou com auxílio das tabelas financeiras.Generalizando, o cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, na qual M é o montante, C o capital, i é a taxa de juros e n é a quantidade de capitalizações.

M = C ( (1 + i)n

Comparando o cálculo composto (exponencial) com o cálculo simples (linear), vemos no cálculo simples:

|CAPITAL |JUROS |MONTANTE |
|R$ 1.000,00( 0,02 |= R$ 20,00 |( M = R$ 1.020,00 |
|R$ 1.000,00 ( 0,02 |= R$ 20,00 |( M = R$ 1.040,00 |
|R$ 1.000,00 ( 0,02 |= R$ 20,00 |( M = R$ 1.060,00 |
|R$ 1.000,00 ( 0,02 |= R$ 20,00 |( M = R$ 1.080,00 |
|R$ 1.000,00 ( 0,02 |= R$ 20,00 |( M = R$ 1.100,00 |Portanto, o montante simples, ao final dos 5 meses será R$ 1.100,00.

Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros compostos e os juros simples, apresentam valores iguais. A partir daí, o rendimento composto passa a superar o simples.

EXEMPLOS RESOLVIDOS

1) Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês.Resolução:
A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 capitalizações.
C = R$ 600
i = 4% = 0,04
n = 12
M = C ( (1 + i)n ( M = 600 ( (1 + 0,04)12 ( M = 600 ( (1,04)12
( M = 600 ( 1,60103
M = R$ 960,62

O fator (1,04)12 pode ser calculado com auxílio das tabelas financeiras, para n = 12 e i = 4%.

|(1 + i)n|
|n i( | | | | |
|( |2% |3% |4% |5% |
|9 |1,19509 |1,30477 |1,42331 |1,55133 |
|10 |1,21899 |1,34392 |1,48024 |1,62889 |
|11 |1,24337 |1,38423 |1,53945 |1,71034 |
|12 |1,26824 |1,42576...
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