Kevin

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  • Publicado : 28 de mayo de 2010
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e propondrá primero un problema isoperimétrico análogo al resuelto por Fermat (antes de 1638) para ilustrar su método para la determinación de máximos y mínimos.
1. Un granjero tiene 14 m de malla de alambre y desea cercar una zona rectangular para reproducir un cierto tipo de semilla. ¿Qué dimensiones debe tener esa zona rectangular para que sea la mayor posible?a

b
Una posible forma de resolver el problema es por tanteo, trazar algunos rectángulos con perímetro igual a 14, calcular sus áreas para ver cómo varían y elegir la más grande.

a = 1 A = 6a = 2 A = 10
b = 6 b = 5

a = 3 A = 12 a = 4 A = 12

b = 4b = 3

a = 3.5 A = 12.25

b = 3.5
Como puede verse el área de los rectángulos va aumentando hasta llegar a 12 y ahí observamos que al seguir aumentando la altura en uno, regresaríamos a los rectángulos anteriores conlos valores de la base y la altura invertidos. Podemos pensar entonces, dada la simetría del problema, que el valor del área máxima del rectángulo se encontrará para el valor de a intermedio entre los dos con los que se obtuvo la mayor área, o sea entre a = 3 y a = 4 esto es para a = 3.5, como se muestra en el último rectángulo.
Otra forma, quizá más conveniente, de enfrentar elproblema es que en lugar de estar trazando los rectángulos construyéramos una tabla con la información numérica que nos interesa. Así tenemos que el área del rectángulo es A = b a y su perímetro es P = 2 b + 2 a = 14 de donde b = 7 – a y entonces podemos expresar el área como función de la altura como: A ( a ) = 7 a – a 2 , para valores de a que van desde cero hasta sieteesto es 0 ≤ a ≤ 7 que es el dominio de la función.

a | b = 7 – a | P | A = 7 a – a 2 |
0 | 7 | 14 | 0 |
1 | 6 | 14 | 6 |
2 | 5 | 14 | 10 |
3 | 4 | 14 | 12 |
3.5 | 3.5 | 14 | 12.25 |
4 | 3 | 14 | 12 |
5 | 2 | 14 | 10 |
6 | 1 | 14 |6 |
7 | 0 | 14 | 0 |

Observando la simetría de la tabla estamos seguros de que el área máxima es efectivamente de 12.25 y se obtiene cuando a = b = 3.5; esto significa que el rectángulo es un cuadrado.
Regresando a responder al problema inicial, el granjero deberá cercar la zona rectangular como un cuadrado de 3.5 m de lado para obtener la mayor área que será de12.25 m 2.

En el contexto geométrico se puede enfrentar el problema con mayor precisión, vaciando la información que tenemos en la tabla en un sistema de ejes coordenados:

Y percatándose de que el área que quedó como una función de la altura del rectángulo como A ( a ) = 7 a – a 2 que es un polinomio de segundo grado en a y que por lo tanto se representa gráficamente como una parábola coneje de simetría paralelo al eje vertical. En este caso la parábola abre hacia abajo, ya que el coeficiente del término cuadrático es negativo Entonces la gráfica completa en su dominio 0 ≤ a ≤ 7 nos da todos los posibles valores del área A, para todos los posibles valores de la altura a, tomando en cuenta que el perímetro es 14, tal gráfica es:
Esta gráfica nos termina de confirmar que...
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