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´ ´ MATEMATICAS PARA LA EMPRESA II. GRADO EN ADMINISTRACION ´ DE EMPRESAS. CURSO 2010-2011 Y DIRECCION ´ Tema 2: CALCULO MATRICIAL 1. Calcular los siguientes determinantes: 1 3 2 −1 3 1 2 0 −3 3 1 2 −1 −4 1 0 3 4 −3 0 −1 −5 2 0 −2 3 1 −1 1 −1 2 0 3 2 3 4 7 −1 −1 2 −2 1 −3 5 −2 2 4 −1 0 3 2 1 −3 −1 −2 3 0

a)

b)

c)

d)

2. Demostrar sin desarrollar que: (a) 1 x1 x2 1 y 1 x2 1 y1 y2 1 11 1 x1 y1 y1 y1 x2 x2 y2 y2 = (y1 − x1 )(y2 − x2 ) x3 x3 x3 y3

(b)

= (y1 − x1 )(y2 − x2 )(y3 − x3 )

3. Calcular sin desarrollar los siguientes determinantes: 1 1 1 1 1 1+a 1 1 1 1 1+b 1 1 1 1 1+c 1 4 b) 4 4 4 2 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 1 2 3 4 −1 0 3 4 0 4 c) −1 −2 −1 −2 −3 0 −1 −2 −3 −4 5 5 5 5 0

a)

4. Demostrar si desarrollar que: a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a

= (a + 3)(a − 1)35. Indicar si las siguientes matrices son o no regulares. inversa.  3 1 2 1  2 1 A = B= −1 3 −1 −2    1 1 −3 0  2 1 −4  D =  C =  2  1 −1 −2 3 0 1

En caso afirmativo calcular la  −1 0  −3  0 −1 1 1 0 −1   0 0 1  −1 0 1

6. ¿Es B la inversa de A si A =

1 2 1 1

yB=

−1 2 1 −1

?

7. Sean A y B matrices regulares de orden n. Sabiendo que |A| = 5 y |B| = 3, calcular:a) |3A| b) |Adj(A)| c) BAt d) BAB −1 e) 1 BA−1 B t |B|

8. Calcular |AB|, |(BA)t |, |2A3B|, |ABA−1 B| y |BB −1 |, siendo 1  0 A=  0 0  2 2 2 2 0 0 1 0  0 0   0  1 1  0 B=  0 1  0 4 0 1  0 3 0 4   0 −1  2 8

9. Responder a las siguientes cuestiones: (a) Si A2 = A, ¿qu´ valores puede tomar |A|? e (b) Si A = A−1 , ¿qu´ valores puede tomar |A|? e 10. Sea A una matriz cuadrada deorden n tal que A2 = −I. Demostrar que |A| = 0 y que n es par. 11. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Demuestre que AAt es una matriz sim´trica. e 12. Dadas las matrices: A= C= 1 1 1 1 −2 1 0 0 B= 0 1 −1 1

Hallar la matriz X que verifica la ecuaci´n matricial 3X + 2A = 6B − 4A + 3C. o 13. Calcular la  1 A= 1 1
1 matriz X en la ecuaci´n matricial 2 (AX)t + 1 B o = C, siendo 4      1 1 22 −2 0 4 2 0 1  0  B= 2 0 C =  −2 6 0  0 −1 4 6 −8 2 0 4 −1

14. Despejar X en la ecuaci´n matricial (AXB + XB)t CA−1 − I = A−1 , donde A, o I + A, B y C son regulares. 15. Suponiendo que A y B son matrices regulares del mismo orden, resolver: (a) (X t A)t + (B)t = (A + B)t . (b) X −1 A−1 B = A−1 B.

2

16. Utilizar la inversa para despejar X en AX = B. (a) A−1 = (b) A−1  3 2 1 = 11 2  1 2 1   3 B =  −1  2  3 2 1 1 B= 3 2

Preguntas TEST  4 1 −3 1. La matriz A =  0 −1 1  es una matriz: 0 0 7  (a) triangular inferior. (b) triangular superior. (c) diagonal. 2. ¿Cu´l es la definici´n de matriz sim´trica? a o e (a) Una matriz cuadrada A es sim´trica cuando A = −A. e (b) Una matriz cuadrada A es sim´trica cuando A = −At . e (c) Una matriz cuadrada A es sim´tricacuando A = At . e 3. Dadas dos matrices regulares del mismo orden A y B, se˜alar la afirmaci´n falsa: n o (a) (A−1 )−1 = A. (b) (AB)−1 = B −1 A−1 . (c) (A + B)−1 = A−1 + B −1 . 4. Sea A una matriz regular, tal que A2 = A, entonces: (a) A es la matriz nula. (b) A es la matriz identidad. (c) Ninguna de las anteriores opciones es cierta. 5. Sean A y B matrices cuadradas de orden 3. Entonces, si |A| = 3| y|B| = −1: (a) |2A 4B| = (−4)23 . (b) |2A 4B| = (−3)23 . (c) |2A 4B| = (−3)29 .   λ 0 λ 6. La matriz P =  λ 0 −λ  es una matriz regular para: 0 1 0 3

(a) λ = 0. (b) λ = 0. (c) cualquier λ ∈ R. 7. Dadas las matrices A, B, C cuadradas de orden 3 tales que |A| = 2, |B| = 4 y 1 |C| = 3, el determinante |A| B t C −1 vale: (a) (b)
2 3 1 6

(c) 6 8. El resultado de despejar X en la ecuaci´nmatricial C(AXB +XB)t −A = I, donde o A, I + A, B, C son regulares y A sim´trica, es: e (a) X = (BC t )−1 (b) X = (I + A)−1 C(I + A)B −1 (c) X = CB −1 9. ¿Cu´l de las siguientes propiedades para las matrices NO es siempre cierta? a (a) |A2 | = |A|2 (b) Si A es una matriz regular entonces |A−1 | = 1/ |A| . (c) |At | = − |A| 10. Sean A y B dos matrices cuadradas sim´tricas. Entonces: e (a) BA tambi´n...
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