Límites y continuidad

UNIDAD 3 Límites y continuidad
3.1 definición de límite.
Algunos autores definen al cálculo como “un estudio de los límites”, por la importancia que tiene la noción de límite para esta área de las matemáticas. Y es precisamente esta idea la que distingue al cálculo de otras ramas.
La palabra límite, en el lenguaje cotidiano, significa la proximidad de algo y este sentido tiene algo que vercon el cálculo, aunque con reservas.
Noción intuitiva de límite
Considere un triangulo inscrito en una circunferencia; luego considere un cuadrado inscrito dentro de esa misma circunferencia. Piense después en un pentágono. Si se va aumentando el número de lados del polígono, llegara el momento en que no se podrá distinguir el polígono de la circunferencia, decimos entonces que el perímetro delos polígonos tiene como limite el perímetro de la circunferencia. Podemos pensar también en la circunferencia como un polígono con número infinito de lados.

Fig 3.1 Poligonos inscritos
Si el perimetro del poligono regular de lados se denota por Pn, y el perimetro de la circunferencia en el cual está inscrito se denota por C; para expresar que Pn tiene por limite a C escribimos:Considerando que el numero de lados del poligono (n) aumenta de manera ilimitada, se dice que n tiende a infinito, lo cual se escribe:

Recordemos que no es un numero, sino un simbolo que indica una tendencia
Al ir aumentando el numero de lados del poligono,la diferencia entre el área de la circunferencia y el área del poligono se va haciendo cada vez menor. Si llamamos d a esta diferencia,entonces:

Es decir, el limite de la diferencia entre las áreas cuando tiende a infinito es cero.
Considere ahora la siguiente función:

Notese que cuando , la función tiene la forma , la cual no tiene sentido. Esto quiere decir que la función no esta definida en
Preguntémonos ahora que sucede a f cuando se aproxima a 1; es decir, ¿se aproxima f) a algun valor cuando se aproxima a 1?.Para responder esta pregunta calculemos f(x) para algunos valores de próximos a 1

0.8
0.99
0.999
0.9999
1
1.0001
1.001
1.01
1.1
1.2

1.8
1.99
1.999
1.9999
¿?
2.0001
2.001
2.01
2.1
2.2

Con la informacion de la tabla podemos afirmar que tiende a 2 cuando tiende a 1. En simbolos matemáticos esto lo podemos escribir como sigue

Esto se lee: “el límite cuando tiende a 1 dees 2”
Usemos un poco de álgebra para obtener mas y mejor evidencia.

Aclaremos que , es valido siempre y cuando
Con estos elementos intentemos ahora una definicion intuitiva de limite
Definicion. Decir que significa que cuando x esta cerca pero difiere de c, f(x) esta cerca de L
La noción de límite esta asociada con el comportamiento de una función cerca de c, no en c. Una función nonecesariamente debe estar definida en un deteminado valor de x para que el limite exista
Veamos unos ejemplos mas.
Ejemplo 1. Encuentre
Solucion. Cuando x esta cerca de 2, x2+3 estará cerca de 22+3=7 y escribimos


Ejemplo 2. Encuentre
Solución. Al evaluar el limite en , nos damos cuenta que la función no esta definida para ese valor de , ya que resulta una division entre cero. Pero ellimite existe. Esto lo podemos comprobar usando una calculadora y dando valores a cada vez mas proximos a 3 para ver el comportamiento de . Pero es mas rapido si usamos algebra para simplificar el problema.

La cancelacion de es legitima, ya que la definicion pasa por alto el comportamiento preciso de la función en el valor de en el cual se presenta la situacion de indeterminación.
Ejemplo 3.Encuentre
Solucion.


En la determinacion de limites de funciones racionales, pueden darse tres situaciones en las cuales se involucre al 0.
Situacion A. Cero entre un numero
Situacion B. Un numero entre cero
Situacion C. Cero entre cero .
Si al sustituir el valor a que tiende x en un limite, nos resulta un cero en el numerador y cualquier otro numero en el denominador, el...