Límites
Al aproximar x lo suficientemente cerca de un número a (sin ser a ) por ambos lados, f ( x) se aproxima a un número real L , esto se representa:
lim f ( x) L
x a
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE UNA GRÁFICA Ejemplo 1
f ( x)
x2 9 ; x 3
f ( x)
( x 3)( x 3) x3 x 3
9 8 7 6 5 4 3 2 1 -2 -1 -1 -2
y
x
1 2 3 4 5 6 7 8
MEM. Martha PatriciaValdivia Gutiérrez
Página 1
Ejemplo 2
3x 14 si x 2 f ( x) x 2 si x 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 1 2 3 4 5 6
y
x
Ejemplo 3 Para la función f ( x) mostrada en la figura determinar: a) lim f ( x)
x 1
b) lim f ( x)
x 3
7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
y
x
1 2 3 4 5 6 7 8
SOLUCIÓN: a) 4 b) no existe
MEM. Martha Patricia Valdivia GutiérrezPágina 2
Ejemplo 4 Para la función f ( x) mostrada en la figura determinar: a)
x 1
lim f ( x)
b) lim f ( x) c) lim f ( x)
x 3 x 1
9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2
y
x
1 2 3 4 5 6 7
SOLUCIÓN: a) 1 b) 3 c) no existe
Si los límites laterales existen y tienden a un mismo número L entonces el límite existe.
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Página 3Ejercicios: Utiliza una herramienta de graficación para representar la función y estimar los limites de manera visual.
1. f ( x) x 2 4 x a)lim f ( x)
x4
2. f ( x)
x 4
b) lim f ( x)
x 1
12( x 3) x 9 a )lim f ( x)
x 0
3. f ( x) x x 4 a )lim f ( x)
x4
b) lim f ( x)
x 1
b)lim f ( x)
TEOREMAS Si f ( x) y g ( x) son funciones, c, a y n son númerosreales, entonces: 1.- lim c c
x a
2.- lim x a
x a
3.- lim c f ( x) c lim f ( x)
x a x a
4.- lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x)
x a x a x a
5.- lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x)
x a x a x a
6.- lim
x a
f ( x) lim f ( x) x a g ( x) lim g ( x)
x a
7.- lim f ( x) lim f ( x) x a x a
n
n
(Para los teoremas del 4 al7 se cumple siempre y cuando los límites existan)
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ANALÍTICAMENTE El límite se obtiene al aplicar los teoremas y sustituir el valor al cual tiende la variable en la función propuesta.
lim( x 2 3x 4) lim x 2 lim3x lim 4 lim x 3lim x lim 4 2 3 2 4 6
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x2
2
Los teoremas nos permiten hacer una sustitución de la variable independiente por el valor al que tiende el límite. Ejemplos:
1 3 2 3 2x 2 2 1 a) lim x 1 2 3 2 x 1 4 2 3 2 2
b) lim
4 4 4 4 2 x 2 x 4 2 4 4 4 0
2
El límite no existe, ya que la división entre cero no está
definida. c) lim
x 3
9 (3)2 9 x2 99 0 0 2x 1 2(3) 1 6 1 7
Ejercicios: Determina el valor de los siguientes límites. 1. lim 7 2 x
x 2
5. lim
x 7
2. lim 4 x 2 2 x 6
x 3
3x x2
6. lim 3 x 4
x 4
3. lim x 1
x 3
7. lim
x x 4
2
2 x 3 x 2
x2 x4
4. lim
x 1
8. lim
x 2
MEM. Martha Patricia Valdivia Gutiérrez
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LIMITES INDETERMINADOS:
0 , cuando sepresenta un resultado 0 con estas características es necesario quitar la indeterminación, dicha indeterminación se elimina al factorizar o racionalizar (de ser posible la función, para posteriormente simplificarla y obtener el límite.
Uno de los tipos de indeterminaciones que se presentan es Por simple inspección se puede ver cuando se presenta la indeterminación.
Ejemplos:
lim
1.
3x 2 5x 4 3(0)2 5(0)4 0 2 4 8 2 4 8 x 0 2 x 6 x 7 x 2(0) 6(0) 7(0) 0
x 0
lim
x 2 (3 5 x 2 ) 3 5x2 3 5(0) 2 3 lim 2 2 6 2 6 2 6 x (2 6 x 7 x ) x 0 2 6 x 7 x 2 6(0) 7(0) 2
4 x 2 4 (2) 2 44 0 x 2 x 2 (2) 2 2 2 0 2. (2 x)(2 x) lim lim (2 x) (2 (2) 4 x 2 x 2 x2 lim
lim
x 1
3.
x 2 2 x 1 (1) 2 ...
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