Límites

Contenido
3.0 Límites y Continuidad 3
3.1 Limite de una Sucesión 6
3.2 Limite de una Función de Variable Real 7
3.3 Cálculo de Límites 9
3.4 Propiedades de los Límites 10
3.5 Límites Laterales 11
3.6 Límites Infinitos y Límites al Infinito 12
3.7 Asíntotas 15
3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo 17
3.9 Tipos de discontinuidades 18


3.0 Límites yContinuidad
En matemáticas, cuando el número de lados inscritos y circunscritos de un polígono aumenta, su área se aproxima a un valor fijo llamado límite y este límite es el área del círculo. Por tanto, podemos decir que si n representa el número de lados de un polígono y el área de polígonos inscritos y circunscritos son A1 y A2 respectivamente, entonces


La Teoría de los Límites marca elprimer punto de cálculo. Unas u otras formas de límites se utilizan para transmitir todos y cada uno de los conceptos en el cálculo.
La definición general de límites puede entenderse mejor con la ayuda de un ejemplo.
Considere una función f(x) = x2 + x. Para encontrar el límite de una función cuando x tiende a 1, revisaremos el comportamiento de la función para los valores de x cercanos a 1. Amedida que x se aproxima a 1 por la derecha, el valor correspondiente de la función se aproxima a 2. Esto se conoce como límite derecho de la función, cuando x se aproxima a 1 por la derecha.

Del mismo modo, cuando x se aproxima a 1 por la izquierda, el valor de la función una vez más se aproxima a 2. Esto se conoce como límite del lado izquierdo de la función, ya que x se aproxima a 1 por laizquierda.

x F(x)
0.9 1.71
0.99 1.9701
0.999 1.997001
1.01 2.0301
1.1 2.31
1.2 2.64
Observe que cuando x se encuentra dentro de 0.01 unidades de 1, es decir, entre 0.99 y 1.01, entonces f(x) está dentro de 0.04 unidades de 2, mientras que cuando x se encuentra a 0.1 unidades de 1, es decir, entre 0.9 y 1.1, entonces en ese caso, f(x) se encuentra a 0.4 unidades de 2. Por tanto,podemos hacer que el valor de la función esté cerca de 2 mediante hacer x lo suficientemente cerca de 1. Por tanto, el límite de la función f(x) se puede describir como

En ciertas ocasiones, el límite de una función también puede ser infinito. Por ejemplo: la función. El comportamiento de la función cuando x tiende a 0 es indefinido, es decir, a medida que el valor de x aumenta, el valor de lafunción también aumenta. En x = 0, el valor de f(x) se vuelve infinito. Así que la función se dice que tiene límite infinito.
La continuidad es una propiedad que está estrechamente relacionada con los límites. Se trata de una propiedad característica de la mayoría de las funciones que sirven para trazar el gráfico de una función sin saltar o brincar. Sin embargo, la existencia de límites finitos nonecesita la existencia de la continuidad. Por ejemplo: Teniendo en cuenta los gráficos de las funciones




f(x) = | x | f(x) = [ x ]
Se puede observar que el grafico de f(x) = | x | es una sola pieza. Pero el grafico de f(x) = [x] no está en una sola pieza. Por tanto, el grafico f(x) = | x | se dice que es continuo.
Definiéndola geométricamente con la ayuda de un ejemplo, podemosdecir, que normalmente la gráfica de la función f: [a, b] R se puede dibujar sin mover la mano de un punto A a otro punto B. Entonces podemos considerar la gráfica como continua en los puntos (A, B).


3.1 Limite de una Sucesión
El límite de una sucesión particular es generalmente un número o un punto definido L, con la condición que todos los términos de esa sucesión particular estén muy cercade L para grandes cifras de n. En caso de que el límite esté presente, se dice entonces que la sucesión es convergente y converge en el punto definido L. En el caso complementario, se dice que la sucesión es divergente.
Matemáticamente la definición puede ser demostrada suponiendo an} sea la sucesión y l un número real. Si por cada ε › 0 entonces encontramos m N, tal que, n N, es l y se...