LA DESAXIOMATIZACIÓN COMO PROCESO DE ENSEÑANZA EN LAS MATEMÁTICAS

LA DESAXIOMATIZACIÓN COMO PROCESO DE ENSEÑANZA EN LAS MATEMÁTICAS
MARÍA EUGENIA HERNÁNDEZ CAVICHE

Introducción

El método de exposición de este tema se dará en forma secuencial, empezando por explicar que es la axiomatización, luego se hablará de la desaxiomatización, pasando por los modelos didácticos derivados del modelo epistemológico euclidiano y presentando por último la relaciónentre la desaxiomatización y el modelo epistemológico euclidiano. Luego cada uno de estos temas, ayudaran a desarrollar la parte central de este ensayo, es decir exponer y defender a “la desaxiomatización como proceso de enseñanza en las matemáticas”, donde se está recalcando sólo en el trabajo que realiza el profesor, es decir, ¿cómo se puede mejorar la enseñanza de las matemáticas? Para responderesta pregunta, primero se debe analizar este proceso de enseñanza dentro del marco de la desaxiomatización, y para esto se situará a la enseñanza y al aprendizaje dentro del programa de axiomatización como se expondrá a continuación.

Ahora, para seguir con este escrito, es primordial aclarar que la idea de presentar la desaxiomatización como proceso de enseñanza en las matemáticas es de Fréchet.Luego, el trabajo que se hará es defender esta idea, tomando algunos de sus argumentos y ejemplos, para unirlos a los de Josep Gascón, anexando una pequeña exposición de la axiomatización a la manera de Euclides y de Hilbert.

Axiomatización

La axiomatización es un programa de investigación que históricamente ha ido creciendo y evolucionando. El objetivo principal de este programa es elestudio de las bases y el fundamento que se establece para crear todo el cuerpo teórico de una ciencia, en nuestro caso el de las matemáticas. Luego, las bases que estudia este programa de investigación son unos términos primitivos llamados axiomas o términos que se asumen verdaderos y con los cuales se inicia la edificación de las matemáticas, pero dichos términos son unas verdades concebidas nopor la experiencia, sino, por el espíritu.
Ahora, éste programa de investigación históricamente nace con los antiguos griegos, los cuales fueron una de las primeras culturas que estaban preocupadas por darle a las matemáticas las bases con las cuales inicialmente organizar todo el conocimiento matemático que hasta entonces se tenía, entonces la principal obra griega con la cuál empezó laaxiomatización son Los Elementos de Euclides y la obra con la cual se llegó a perfeccionar este programa de investigación es la obra de David Hilbert conocida como fundamentos de la geometría. A continuación, se hablara de éstas obras con más detalle dentro de la evolución histórica de la axiomatización.

Entonces, ubicándonos en la antigua Grecia a cuatro siglos a.C., aparece Euclides con su obra LosElementos, empezando a construir el edificio matemático, a través de la construcción del cuerpo teórico para la geometría –aunque la aritmética está presente pero muy separada de la geometría-. Para esto, establece unas bases por medio de la imposición de unas definiciones de los objetos geométricos como puntos, rectas y planos, y unos postulados que hoy denominaremos axiomas, que se constituíancomo “verdades autoevidentes”, y establecían las relaciones entre estos objetos, por medio de operaciones como “trasladar” o “trazar”. Esto con el fin de detener el regreso al infinito de las teorías matemáticas y empezar por medio de deducciones lógicas a desarrollar dichas teorías, que en matemáticas se conocen como proposiciones o teoremas, los cuales se demuestran por medio de razonamientosconcatenados y basados en el valor de verdad de los axiomas.

Ahora, si se puede analizar un poco las operaciones de los postulados, “trasladar” o “trazar”, nos damos cuenta que son dos nociones que no pertenecen a un mundo del espíritu o abstracto, sino, más bien a un mudo real o práctico. Además, es en el mundo práctico donde se le da cierto movimiento a los objetos rígidos como punto, recta...