La Desaxiomatizacion De Las Ciencias

La Desaxiomatización De Las Matemáticas

1. El Método Axiomático
Antes de entrar en detalle con la “desaxiomatización” de las matemáticas, demos una breve mirada al método axiomático y algunas teorías axiomatizadas, para entender un poco más el tema que nos compete. Este método lo podemos remontar desde Aristóteles, pasando por Euclides con su obra principal, Los Elementos, Peano con suaxiomatización de los números naturales y la axiomatización de la geometría por Hilbert, entre otros. Aquí, podemos identificar como los conceptos matemáticos estaban ligados a problemas concretos de la realidad y en la medida que las matemáticas fueron evolucionando, se desligaron de esta realidad generando teorías mucho más abstractas. Pero un aspecto relevante a lo mencionado es que los axiomas noson el inicio de una teoría; estos aparecen en una primera instancia como operaciones y algoritmos antes de ser caracterizados en una teoría formalmente. Es por esto la importancia de conocer una nueva perspectiva al respecto.
1.2. Sistemas Axiomáticos
Desde el diccionario de la Real Academia Española axioma es: “Proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración. Cadauno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría”. El modelo axiomático parte de unos enunciados que posteriormente los establece como axiomas, lo cual se admiten como verdaderos sin una demostración formal, dándole una categoría de evidentes (se podría entrar en discusión de que tan evidentes son estos axiomas, pero no será el objetivo de este trabajo).Luego se consideran nuevos enunciados y proposiciones que dan lugar a una nueva teoría. Por ello el método axiomático tiene una doble intervención:
1. Construir objetos matemáticos a partir de objetos empíricos.
2. Formulación y demostración de proposiciones a través de hipótesis convenientes.
Entendiendo que los axiomas se definen exclusivamente por no ser deducibles en el sistema y nopor su aparente evidencia.
Veamos algunos ejemplos de teorías axiomatizadas.
1.2.1. Euclides, Peano y Hilbert
1.2.2.1. Los Elementos de Euclides
Euclides en su obra, Los Elementos, se observa como sistematizo toda esta gama de conocimientos, organizándola en 13 libros. La temática de los 6 primeros libros es sobre la geometría plana, del 7 al 9 sobre la teoría delnúmero y del 10 al 13 referente a la geometría solida. A continuación mostremos como Euclides en el libro I estableció unos axiomas para la construcción de su teoría:

* Noción común 1. Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
* Noción común 2. Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales también.
* Noción común 3. Si a cosas iguales se quitan cosasiguales, los restos son iguales también.
* Noción común 4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
* Noción común 5. El todo es mayor que la parte.
A partir de estas nociones comunes (axiomas), Euclides establece 48 proposiciones, con sus respectivas demostraciones. El método utilizado por Euclides es a través de una cadena de deducciones, obteniendo nuevos resultados a partir delas anteriores. Es interesante notar que, Euclides previene un regreso al infinito, mediante el establecimiento de sus nociones comunes o axiomas, mostrando la importancia con la cual estructuró su teoría.
1.2.2.2. Axiomatización de los números naturales de Giuseppe Peano
En los dos últimos siglos las matemáticas se habían desarrollado basándose principalmente en las aplicaciones ylos resultados. A pesar de ello, las matemáticas avanzaron en conceptos tan abstractos como los infinitésimos y concepto de continuidad; En estos conceptos se observa la falta de de rigurosidad. Frente a esto, Cauchy, Weierstrass, entre otros impulsaron el movimiento del retorno a los fundamentos el cual culmino con el llamado “Aritmetizacion de las Análisis”. Gracias a este movimiento y a la...