La dimensión objeto del álgebra

4. La dimensión objeto del álgebra
En el álgebra elemental, la dimensión objeto se organiza alrededor de la resolución de ecuaciones, de inecuaciones y de sistemas lineales, y por otra parte alrededor de la aproximación al marco funcional.
La dos dimensiones, útil y objeto, están íntimamente relacionadas y hay un aporte de ambas a la construcción del pensamiento algebraico. El trabajo sobre ladimensión útil aporta a la construcción del “objeto” así como el útil se torna más eficaz al considerase objeto de estudio en sí mismo.
Es posible abordar esta dimensión “objeto” a partir de:
1) Problemas de status de los nuevos objetos, por ejemplo, el status de las letras.
2) La dualidad de las expresiones algebraicas dotadas a la vez de una semántica y de una sintaxis, dualidad que juegaun rol esencial en la manipulación formal.
Status de los objetos del álgebra
Status de las letras: en aritmética, las letras están presentes pero designan unidades de medidas u objetos, por ejemplo, 12m (la tetra m es utilizada como “etiqueta”). La entrada al álgebra viene acompañada de una ampliación de significaciones: las letras designan números y por lo tanto estará ahora involucradas encálculos. El status de las letras depende del contexto y no se puede reducir al de “etiqueta”.
Este cambio de status no es evidente en los alumnos, por un lado debido a la continuidad de las escrituras y por otro lado, por el hecho de que muchas propuestas pedagógicas “refuerzan” la idea de letra como “etiqueta”.
Diferentes status posibles para las letras en la clase de matemática:
Las letras paradesignar una dimensión, en las fórmulas de cálculo de perímetros o áreas, o para designar objetos geométricos simples. La letra en este tipo de situaciones es una herramienta de designación.
En el cálculo algebraico, cuando se comienza a trabajar con ecuaciones, la letra es considerada como un número desconocido, una incógnita.
A medida que aparecen ecuaciones más complejas, las letras toman unnuevo status: adquieren el status de “indeterminadas”.
A partir de la introducción de las funciones, de la utilización de gráficas y de tablas. Es necesario provocar una evolución de esta concepción hacia la noción de “letra” definida por su pertenencia a un conjunto conocido de números, es decir hacia la noción de variable.
El status de las letras así como la noción de variable están ausentescomo objeto de enseñanza en los programas y libros de textos, siendo entonces los alumnos responsables del aprendizaje.
Las ecuaciones: Para una gran parte de los alumnos, una ecuación se identifica con el procedimiento que se debe realizar para resolverla.
“Ecuación es una noción definible dentro del campo de la Lógica Matemática. Chevallard sostiene que se trata de una noción paramatemática,es decir de una noción herramienta de la actividad matemática, que no constituye normalmente objeto de enseñanza en la escuela. Si bien el sistema no se propone que los estudiantes aprendan “¿qué es una ecuación?”, para que ellos puedan adquirir con sentido los distintos objetos algebraicos que el sistema sí se plantea como objeto de enseñanza será necesario que los alumnos vayan construyendodistintas aproximaciones al concepto de ecuación.”
“Pareciera ser que los estudiantes manejan simultáneamente dos concepciones de “igualdad con incógnita”. La primera se vincula a la forma de la expresión y estaría ligada a la presencia de un signo o símbolo que no sea un numeral.
Según la segunda concepción, los alumnos identifican igualdad con igualdad numérica e incógnita con “número a develar”.Ellos parecen sostener que una ecuación es una igualdad entre números en la que la x está “tapando” a un número que interviene en la expresión. La ecuación seria entonces una proposición (la afirmación de una igualdad) y no una función proposicional.
La concepción que más ponen en juego los alumnos (y por lo tanto la que más se consolida) sería la de una ecuación como igualdad numérica con...