la elipse


LA ELIPSE
“Es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos”

Sean los dos puntos fijos F(c. O) y F'(-c, O) y 2a lasuma constante, (a ˃ c). Consideremos
un punto genérico P(x,y) que pertenezca al lugar. Por definición


es decir,
o bien
Elevado al cuadrado y reduciendo términos semejantes

Elevando alcuadrado y simplificando

Dividiendo por se obtiene la ecuación
Como es positivo. Haciendo resulta la ecuación de la elipse de forma
O bien
SI los focos fueran los puntos de coordenadas (O, c) y(O, -c), el eje mayor estaría sobre
el eje Y. con lo que la ecuación resulta de la forma :

La excentricidad o bien c= ae
Como la elipse tiene dos focos, también tendrá dos directrices Lasecuaciones de las
directrices D'D' y DD son, respectivamente,

Si los focos estuvieran sobre el eje y , las ecuaciones de las directrices serian

El lado recto de la elipse es la cuerdaperpendicular al lado mayor por uno de los focos:
2b²/a
“Los puntos en los cuales la elipse corta al eje mayor se llaman vértices.”
Si el centro de la elipse es el punto (h,k ) y el eje mayor tiene ladirección del eje x, la ecuación de la elipse es de la forma
si el eje mayor fuera paralelo al eje y
Forma general de la ecuación de la elipse

Siempre que A y B sean del mismo signo
Elementos de laelipse
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
Radiosvectores
Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
Distancia focal
Es el segmento  de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
Vértices
Son los puntosde intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
Eje mayor
Es el segmento  de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
Eje menor
Es el segmento  de longitud 2b, b es el valor...