La Elipse

TRABAJO DE MATEMÁTICA
“LA ELIPSE”.

Profesor: Pedro Manzano.

Objetivo
Especifico: La Elipse
Nº 4.3

4.3 Definición.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

4.3.1. Elementos de la elipse.
Consideramos una elipse como la mostrada en la figura b, la cual estasituada sobre un plano de coordenadas, de tal forma que los focos f1, f2 que den ubicados sobre los ejes de las abscisas.

Eje foca: Es la recta que pasa por los focos, en la figura es el eje x .

Los vértices: Son los puntos de corte del eje focal con la elipse. Ellos son v1y v2.

Eje mayor o eje principal: Es el segmento del eje focal comprendido entre los vértices.

Centro de laelipse: Es el punto medio entre los focos.

Cuerda: Es el segmento que une dos puntos diferentes de la elipse si pasa por el foco se llama cuerda focal.

Lado recto: Son las cuerdas focales perpendiculares al eje principal. L1, 2 y M1, M2

Eje menor: Es la cuerda perpendicular del eje mayor y que pasa por el centro, es el segmento B1y B 2.

4.3.2 Ecuación de la Elipse

[pic]

Ubicaremos sucentro en el origen y sus ejes son los ejes de las coordenadas.

Si C > 0 es la distancia del origen al foco derecho F2, la distancia del origen al foco izquierdo F1 también es C.

Esto unida a las coordenadas del foco F1 son (-C,0) y las coordenadas de F2 (C,0).

La distancia entre los focos F1 y F2 es 2C.

Llamemos por ultimo, 2a la suma de las distancias desde un punto cualquiera P(X,Y) de una elipse a los focos.

Si P(X, Y) es un punto cualquiera de la elipse podemos escribir de acuerdo con la definición que:
D (P, F1) + D (P, F2) = 2a

Utilizando la formula de distancia entre los puntos:

√(x + c)2 + y2 + √(x + c)2+ y2 = 2a

Si procedemos a simplificar pasamos el primer término al segundo miembro:

√(x - c)2 + y2 = 2a - √(x + c)2 + y2

Elevemos ambos miembrosal cuadrado y desarrollamos:

[√(x - c)2 + y2]2 = [2a - √(x + c)2 + y2]2
(x - c)2 + y2 = 4a2 – 4a √(x - c)2 + y2 + (x + c)2 + y2

Al desarrollar y simplificar se tiene que:

X2 - 2xc + c2 + y2 = 4a2 - 4a √(x + c)2 +y2 + x2 + 2xc + c2 + y2
-4xc- 4a2 = -4a √(x + c)2 +y

Factorizando:

4(-xc - a2) = -4a√(x + c)2 + y

Dividiendo ambos miembros entre -4 nos queda que:

(xc + a2)2 = a2[(x + c)2 + y2]

Desarrollando:

x2 c2 + 2a2cx + a4 = a2 (x2 + 2cx + c2 + y2)
x2c2 + 2a2cx + a4 = a2 x2 + 2acx + a2c2 + a2y2

Simplificando:

a4 + c2x2 - a2x2 - a2 c2 – a2y2 = 0
y = b/a * b
y = b2/a

Luego:

y = 2b/a

Esta expresión representa la longitud del lado recto la cual es 2y

Las coordenadas de los extremos del lado recto serán:

[c, b2/a] y [-c, -b2/a]

En todaelipse los focos están ubicados entre los vértices y el centro, es decir 0b

Esta es la ecuación reducida de la elipse con centro en el origen de coordenadas y eje mayor o eje focal coincidente con el eje x.

En forma análoga puede decirse que si los focos están sobre el eje y, con coordenadas F1 (0, c) y F2 (0, t) la ecuación de la elipse es:
x2/b2 + y2/a2 = 1 a > bEsta es la ecuación reducida de la elipse con centro en el origen de coordenadas y eje mayor coincidente con el eje y

Observaciones:

❖ Los valores de los denominadores de la expresión anterior, a2 y b2 son siempre números positivos, con a2 > b2.
❖ Para identificar cual de los ejes cartesianos es paralelo al eje mayor de la elipse, debemos observar en la ecuación los denominadores dex2 y y2.
❖ Si el denomidor de x2 es mayor que el de y2 entonces el eje mayor es paralelo al eje x.
❖ Si el denominador y2 es mayor que el denominador x2 entonces el eje mayor es paralelo al eje y.

4.3.3 Lado recto o excentricidad.

Usemos la expresión siguiente
x2/a2 + y2/b2 = 1 en ella tratemos de despejar y.

x2/a2 + y2/b2 = 1
y2/b2 = 1- x2 /a2
y2/b2 =a2 - x2/a2
y2 = b2 (a2...