La Forma Canónica De Jordan
Páginas: 15 (3547 palabras)
Publicado: 11 de marzo de 2013
La forma canónica de Jordan
El estudio de la forma canónica de Jordan J, correspondiente a una matriz cuadrada A, está efectuado de un modo completo en numerosos textos. Como es bien sabido, A y J son matrices semejantes, es decir, existe alguna matriz cuadrada P del mismo orden que las anteriores y además no singular, tal que A=P J P⁻¹.
En álgebra lineal, la forma canónica de Jordan es laforma de la matriz de un endomorfismo de un espacio vectorial en cierta base asociada a la descomposición en suma directa de subespacios invariantes bajo dicho endomorfismo. Dicha forma canónica consistirá en que la matriz estará formada por "bloques de Jordan" en la diagonal y bloques de ceros fuera de ella.
En los números complejos ( y en los reales cuando se descomponga totalmente el polinomiocaracterístico) aunque no siempre es posible diagonalizar, si que es posible siempre una "casi diagonalización". Esto es a lo que denominamos la forma canónica de Jordan. En el esquema
no es en general diagonal (lo será cuando sea diagonalizable) pero si es diagonal por bloques , los denominados bloques de Jordan.
Cada bloque está asociado a un autovalor . A su vez los bloques son matricesdiagonales de subbloques
y cada subbloque es una matriz cuadrada que consta en la diagonal del autovalor y por debajo de la diagonal de unos. El resto son ceros.
Se verifica además que si consideramos todos los ordenes de todos los subbloques, y los monomios en , el mínimo común múltiplo de todos ellos mcm coincide con el polinomio mínimo, y el producto de todos ellos coincide con elcaracterístico.
Ejemplo.
tiene claramente rango así es la dimensión del subespacio propio asociado a
El rango es así que tiene dimensión .
, luego tiene dimensión .
De esta forma se tiene la descomposición con la matriz de Jordan y la matriz de paso dadas por
Es facil comprobar que (que es equivalente a o a )
Ejemplo 2
rango , dimensión del subespacio propio
, rango ,dimensión de .
CONTROLADOR PID
Un controlador PID (Proporcional Integral Derivativo) es un mecanismo de control por realimentación que calcula la desviación o error entre un valor medido y el valor que se quiere obtener, para aplicar una acción que corrija el proceso realizado. El controlador PID funciona respecto a tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valorProporcional determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la reacción del tiempo en el que el error se produce. La suma de estas tres acciones es usada para ajustar al proceso vía un elemento de controlcomo la posición de una válvula de control o la energía suministrada a un calentador, por ejemplo. Ajustando estas tres variables en el algoritmo de control del PID, el controlador puede proveer un control diseñado para lo que requiera el proceso a realizar.
P: accion de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error, es decir: u(t) = KP.e(t),que descripta desdesu funci´on transferencia queda:
donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede controlar cualquier planta estable, pero posee desempeño limitado y error en regimen permanente (off-set).
I: accion de control integral: da una salida del controlador que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento.
La señal de controlu(t) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de error e(t) es cero. Por lo que se concluye que dada una referencia constante, o perturbaciones, el error en regimen permanente es cero.
PI: accion de control proporcional-integral, se define mediante:
donde Ti se denomina tiempo integral y es quien ajusta la accion integral. La funcion de transferencia resulta:
Con un control...
El estudio de la forma canónica de Jordan J, correspondiente a una matriz cuadrada A, está efectuado de un modo completo en numerosos textos. Como es bien sabido, A y J son matrices semejantes, es decir, existe alguna matriz cuadrada P del mismo orden que las anteriores y además no singular, tal que A=P J P⁻¹.
En álgebra lineal, la forma canónica de Jordan es laforma de la matriz de un endomorfismo de un espacio vectorial en cierta base asociada a la descomposición en suma directa de subespacios invariantes bajo dicho endomorfismo. Dicha forma canónica consistirá en que la matriz estará formada por "bloques de Jordan" en la diagonal y bloques de ceros fuera de ella.
En los números complejos ( y en los reales cuando se descomponga totalmente el polinomiocaracterístico) aunque no siempre es posible diagonalizar, si que es posible siempre una "casi diagonalización". Esto es a lo que denominamos la forma canónica de Jordan. En el esquema
no es en general diagonal (lo será cuando sea diagonalizable) pero si es diagonal por bloques , los denominados bloques de Jordan.
Cada bloque está asociado a un autovalor . A su vez los bloques son matricesdiagonales de subbloques
y cada subbloque es una matriz cuadrada que consta en la diagonal del autovalor y por debajo de la diagonal de unos. El resto son ceros.
Se verifica además que si consideramos todos los ordenes de todos los subbloques, y los monomios en , el mínimo común múltiplo de todos ellos mcm coincide con el polinomio mínimo, y el producto de todos ellos coincide con elcaracterístico.
Ejemplo.
tiene claramente rango así es la dimensión del subespacio propio asociado a
El rango es así que tiene dimensión .
, luego tiene dimensión .
De esta forma se tiene la descomposición con la matriz de Jordan y la matriz de paso dadas por
Es facil comprobar que (que es equivalente a o a )
Ejemplo 2
rango , dimensión del subespacio propio
, rango ,dimensión de .
CONTROLADOR PID
Un controlador PID (Proporcional Integral Derivativo) es un mecanismo de control por realimentación que calcula la desviación o error entre un valor medido y el valor que se quiere obtener, para aplicar una acción que corrija el proceso realizado. El controlador PID funciona respecto a tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valorProporcional determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la reacción del tiempo en el que el error se produce. La suma de estas tres acciones es usada para ajustar al proceso vía un elemento de controlcomo la posición de una válvula de control o la energía suministrada a un calentador, por ejemplo. Ajustando estas tres variables en el algoritmo de control del PID, el controlador puede proveer un control diseñado para lo que requiera el proceso a realizar.
P: accion de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error, es decir: u(t) = KP.e(t),que descripta desdesu funci´on transferencia queda:
donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede controlar cualquier planta estable, pero posee desempeño limitado y error en regimen permanente (off-set).
I: accion de control integral: da una salida del controlador que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento.
La señal de controlu(t) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de error e(t) es cero. Por lo que se concluye que dada una referencia constante, o perturbaciones, el error en regimen permanente es cero.
PI: accion de control proporcional-integral, se define mediante:
donde Ti se denomina tiempo integral y es quien ajusta la accion integral. La funcion de transferencia resulta:
Con un control...
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